316 (12) V. BOUNIAKOWSKY. 



a, Y ne surpassant pas respectivement les exposants a, b, c De plus, conformé- 

 ment à l'observation faite plus haut, on ne devra soumettre à l'examen que les nombres pre- 

 miers 2, 3, 5 qui ne dépassent pas le degré m de la fonction f[x). 



Cela posé, pour résoudre complètement la question, il faudra assigner les caractères qui 

 fixent en général la valeur de l'exposant |jl de la plus haute puissance d'un nombre premier 

 quelconque p, qui divise identiquement la fonction [[x). En d'autres termes, il faudra trouver 

 la'plus haute puissance p^ pour laquelle la congruence 



f{x) - aj)c^-\- a,a:"*~~'-h- a,p^~'-+- . . . . -t- aj^^_^x a^^ = 0 (mod. jî*^) 



est satisfaite identiquement, c'est-à-dire pour toutes les valeurs 



x= 1, 2, 3 p-^-'l /— 1, p^. 



Nous allons exposer une transformation particulière de la fonction donnée 



f{x) = «.j?"'-»- a,,r"''~'-H . . . . -t- a ,x-^a , 



I \ I 0 I m — I m ' 



au moyen de laquelle on arrive facilement au but que l'on se propose. 

 Divisons f[x) par le produit 



[cc-\){x-9^)[x-^)....[x-p) = J,^^; 



soit Jt^'"""^' le quotient de la division et le reste. Le quotient X^^~^'* sera un polynôme 



du degré m — p, et le reste Rp_^ du degré p — 1 . On aura 



Or, puisque la fonction ^ s'annule pour chacune des valeurs x= i, 2, 3. . . .j?, il faudra 

 nécessairement que l'on ait 



Vi =0(mod./). 



De là on conclura, en vertu du 2'f Corollaire (n" 2), que chacun des coeflicients du po- 

 lynôme 



R^_^ = J^P-•^_/?^-2_^_ Gx-\-II 



doit être divisible par p^' ; aiusi, si nous admettons que p^t soit la plus haute puissance qui 

 divise A, B. . . .G, H, il s'en suivra que 



De cette manière la congruence identique 



f{x) =0 (mod./) 



pourra être remplacée par la suivante 



^ Xi^-Pl =0{mod.p^). 



S'il arrivait que ji^ fut égal à zéro, on aurait visiblement = 0, et par conséquent dans 

 ce cas f{x) ne saurait être identiquement divisible par aucune puissance de p. Nous suppose- 

 rons dans ce qui va suivre que [x^ n'est pas zéro. Le calcul serait également terminé si l'on 



