Sur les diviseurs numériques invariables. (13) 317 



avait [X, = 1 ; en effet, puisque ^ est identiquement divisible par j), on en conclura de suite 

 que 1. Supposons donc 1. 

 Divisons X^'^-P^ par 



{x—p—i)[x—p—2) .... (^—2^)= î 

 soit 2/)) quotient de la division et li'p_^ le reste ; on aura 



ou bien 



A-,,,.«;_,-HA-,,^.A-'"-'"-=0(mod./). 



Or, comme la fonction X^ ,^ s'anuuUe pour les valeurs 



œ = p-i-i, p-i-2, p-i-3 2p 



qui ne réduisent pas à zéro X^ ^, il faudra que l'on ait 



=0(mod./). 



En représentant par ]x.^ l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise chacun des coef- 

 ficients a', B' .... G, H de la fonction 



on conclura, en vertu de la Propositioai 3«'»"« (n** 3), que le produit X^ ^. Ii'p_^ sera iden- 

 tiquement congru à zéro suivant le module p^'^'*~\ c'est-à-dire qu'on aura 



et par suite 



Si l'on avait {Ji^ = 0» en résulterait que l'exposant cherché [jl est égal à 1 , car on au- 

 rait en même temps 



[JL^ n'étant pas nul. Admettons que [t., ne se réduise pas à zéro, et continuons le calcul dans 

 cette hypothèse. 



Divisons le polynôme X^^~'P'' par 



{œ-2p-i){x-2p-2). . ..{x-3p)= .Y^^,,,,^; 



soit X''^~^P^ le quotient de la division et R' _^ le reste; on aura 



A,_,^.X"»-" = A,,,.R;_, -h i-,,,.X.,^,,3,..Y"»-*' ^O(mod./,, 



OU bien 



A',^3^.Z<-='^) ^O(mod./). 

 Or, comme la fonction X^ s'annulle pour les valeurs 



x=z2p-t-i, 2p-t-2, 2p-\-3 3p 



