Sur les diviseurs numériques invariables. (IS) 319 



p-i 



n'est pas nul; de plus, soit p^^—"^ la plus haute puissance de p qui divise la factorielle 

 1.2.3... .(& — i)p; on aura identiquement (Proposition Sème) 



Donc 



En définitive, si aucun des exposants [x.^, [x^. . . . ire se réduit à zéro, on arrivera au 

 dernier quotient X^^ et au dernier reste R ^^ K étant le plus grand entier compris 



dans le quotient numérique ^. La congruence identique 



A .R -+- A .A =0 mod. p^j 



i,£r— ip p—i i,Fp ^ ^ ' 



entrainera la suivante 



X. ,r- -^^^ =0(mod./), 



i,[E—\)p p—i ^ 



en observant que le facteur X s'annule pour chacune des valeurs 



y,Ep ^ 



x = {K—\)p-^\, (A'_l)j9-4-2 Kp, 



et que la factorielle X^ {i{—i)p'' ^^^^ mêmes valeurs, ne se réduit pas à zéro. 



Soit l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise la factorielle numérique 



1.2.3. . . .[K — i)p, et [x^, que nous ne supposons pas nul, celui de la plus haute puissance 



de p qui divise chacun des coefficients du reste 



(ir-l) JK-l) p-l r,{K-i) p-2 AK-i] rjiS-i) 



p-i 



On aura 



^i,^E-i)p'^p-l ^Olmod./) ), 



et par conséquent 



Cela posé, il ne restera plus qu'à examiner la dernière condition 



Or puisque, par hypothèse, tous les restes R , R' , R" ... ; r'^~^^ sont identique- 



p—i p_t p_i p_( I 



