320 (16) V. BOUMAKOWSKY. 



ment divisibles au moins par la première puissance de p, et que tous les coefficients de 

 f(^x) = a^x'^-i- a^x'^~^-+- .... a^^_^ X -+- a ne le sont pas, il s'en suit que les coeffi- 

 cients du polynôme X^^ , dont le degré est inférieur à p, ne pourront pas être tous divi- 

 sibles par p. Si l'on représente donc par X^, l'exposant de la plus haute puissance qui divise 



identiquement la fonction ou, ce qui revient au même, la factorielle numérique 1.2.3.... Ajp, 



on aura, en vertu de la Proposition S»'»»», 



X .X^"^-*'^'^0(mod./^), 



et par suite 



Ici le calcul est terminé. En effet, eu remontant successivement aux conditions 



H- ^ H-3 \ 



on en tire la conséquence que l'exposant cherché [x sera égal au plus petit des A'-t- 1 nombres : 



l*- 1 j 1^2 ~^ ^ ' 1^3 ^2 • • • • H-A ^ A— 1 H- A ^ A'-l , X ^ . 



et le problème se trouvera ainsi résolu. On fera exactement le même calcul pour chacun des 

 facteurs premiers, inférieurs à m, du dernier terme a^^ du polynôme 



f[x) =^ a^x'^-^a^x'^-'-+- -^a^_^x-^a^; 



le produit de tous les diviseurs, analogues à p^, représentera le diviseur numérique invariable N 

 que nous avions en vue de déterminer. 



5. Le calcul que nous venons d'exposer pour déterminer le nombre pourra souvent 

 être considérablement simplifié eu égard aux propriétés les plus simples des congruences. Nous 

 allons indiquer succinctement ces simplifications. Et d'abord, observons que dans la congruence 

 qu'on suppose identique 



f{x) = a^x'"H-a,^"*-^-+- . . . . -+-a„,_,a--»-a^ =0(mod.iV), 



