Sur les diviseurs numériques invariables, (17) 321 



on pourra réduire tous les coefficients a^, a, . . . à des nombres inférieurs au dernier 



terme a^^ et congrus à zéro suivant le module a^^, ce qui est évident puisque N doit diviser a^. 

 De plus, lorsque l'on traitera, après cette réduction, la congruence partielle 



^ '"-t- a, H- a^_, x -t- = 0 (mod./) , 



on pourra encore abaisser les nouveaux coefficients de la même manière relativement au mo- 

 dule p"^ , étant la plus haute puissance qui divise a^^^. On emploiera cette même abréviation 

 jusqu'à la fin du calcul, c'est-à-dire on réduira les coefficients, dans tous les quotients partiels, 

 suivant le même module p'^. 



Il peut aussi arriver que, parvenu, par exemple, à la congruence 



X .R^'-'^-^X , .J^"-'^'^0(mod./), 



l'exposant Ij^ de la puissance p^^ qui divise la factorielle 1 . 2 . 3 . . . . /cp soit supérieur à chacun 

 des nombres : p.^ , li-^-t- 1 , [J-g-i-X^. . . .H'^-i-\_p ou égal au plus grand d'entr'eux. L'opé- 

 ration sera terminée, et l'exposant cherché sera visiblement égal au plus petit nombre de la 



même série ^i.^ , jx^-t-l, iig-t-X^ H-^\-r 



Enfin, conformément à la remarque qui a déjà été faite dans le n° précédent, le calcul se 

 termine également quand on arrive à un reste 



p — 1 



dont les coefficients yl'^', B^^'K . . .G^^\ H^''^ ne sont pas tous divisibles par p. 



G* La transformation du polynôme f[x) que nous avons donnée dans le n° 4 fournit un 

 moyen très simple pour déterminer le minimum m du degré de ([x) avec la condition que la 

 congruence 



f{x) = a^x'^-^a^x^-'Hr- -*-«r,i^i^-*-«m =0(mod./), 



pour un exposant jx donné, soit identique. La transformation dont nous parlons réduit la fonc- 

 tion f[x) à la somme * 



i,Kp 



Or, comme K représente le plus grand entier contenu dans le quotient ^, le degré de la 



fonction X^^ sera inférieur à p, et ce polynôme ne pourra pas être identiquement congru 

 à zéro suivant le module p. En effet, il faudrait pour cela que chacun des coefficients de 

 ^(m hp) divisible par p^ ce qui ne peut avoir lieu, car tous les coefficients des restes suc- 



IUémoir«d se. uiatb. et pbys. T. VI. 4£ 



