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V. BOUNIAKOWSKY. 



cessifs R . R' . R" ^ R^^^ . • • • • sont divisibles par p, tandis que ceux 



p—l p—l p—l p—l p—i r /- ' 1 



de la fonction f{x) ne le sont pas par hypothèse. Observons de plus que le dernier terme de la 

 transformée, égal au produit 



^ ^{m—Kp) 

 \,Ep' ' 



sera, d'après la Proposition S*"»'», identiquement divisible par la même puissance de p que 

 la factorielle numérique 



1.2.3 Kp, 



c'est-à-dire par p^^, l'exposant étant déterminé par la formule 



Kp-^[Kp)p E-^[K)p 



p — 1 p — 1 



Cela posé, il est facile de conclure de ce qui vient d'être dit, que la plus haute puissance 

 de p qui puisse diviser identiquement la fonction ([x) Qsip^^\ il est visible qu'il faut pour cela 



qu'aucun des nombres de la série [x^ , [t^-f-l , [Ji-g-i-Xa )}'E-^^K—i ne 



soit inférieur à \e- Par conséquent, pour que l'exposant m soit minimum, il suffit de sup- 

 poser que le degré de la fonction est zéro, c'est-à-dire que X^'^~^P) se réduit à une 

 constante, non-divisible par p. Ainsi, s'il s'agissait de déterminer le degré minimum m d'une 

 fonction ([x], identiquement divisible par p^, nous chercherions dans la table du n° 3 la valeur 

 de X, égale ou immédiatement supérieure à jj.; soit cette valeur. Le degré minimum cherché 

 m sera égal au produit Kp. 



Supposons, par exemple, qu'on veuille déterminer le degré minimum de la fonction qui 

 serait identiquement divisible par 3^^. Nous cherchons dans la table la valeur de X, égale ou 

 immédiatement supérieure à 12, relative au nombre premier 3; nous trouvons X=: 13, valeur 

 qui correspond à A'= 9. Donc, la valeur minimum du degré m sera 9.3 = 27. Il est d'ail- 

 leurs évident qu'on eut trouvé le même nombre 27 si, au lieu du diviseur 3'^ on eut consi- 

 déré le diviseur 3'^. 



Le degré minimum m de la fonction f[x) pour un diviseur numérique invariable quelconque 



se trouve avec la même facilité au moyen de la table. En effet, soit X^- la valeur de X, égale 



ou immédiatement supérieure à a, pour le nombre premier p ; désignons par X'jf' , X'V" 



les nombres analogues relatifs aux exposants ^, y des nombres premiers g, r. . . ., tirés 



de la même table. Le plus grand des produits 



Kp, K'q, K"r 



sera précisément la valeur minimum de m que l'on cherche. Ainsi, si l'on avait 



iV=2?3?5% 



