Sur les diviseurs numériques invariables. 



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et par conséquent ^ = 2, ^'=3, r = b, a = 6, ^ = 5, y =3, on trouverait par la table 

 \ = 7, X'^=:5, X'3=3, K=^, A'=4, K"=3, 



ce qui donne 



Kp=^^.2 = S, K'q=:^.3 = i2, K"r = 3.5=i5. 



Comme le nombre 15 est le plus grand des trois produits 8, 12, 15, il représentera la valeur 

 minimum cherchée de m. Ainsi, la factorielle 



(a;_l)(^— 2)(^— 3) [x—i^){x—i5), 



dont le développement est un polynôme du 15^™^ degré, sera identiquement divisible par le 

 nombre 2?3.^5^ 



9* Ce que nous avons dit dans le n° précédent donne naturellement lieu à la remarque 

 suivante : on sait que la fonction — x est la plus simple du nombre de celles qui sont iden- 

 tiquement congrues à zéro suivant le module premier p. De même, les expressions 



(^a;P—xf, {xP''~'^-''»—i)x'' 



seront, toutes les deux, identiquement divisibles par la puissance p^. Mais elles ne seront pas gé- 

 néralement les plus simples de celles qui jouissent de cette propriété : en effet, le degré np de 

 la première d'entr'elles, et le degré p^~\p — l)-i-w de la seconde, seront, en général, supé- 

 rieurs à l'exposant Kp trouvé plus haut. Ainsi,' dans l'exemple ci-dessus, nous avons j7=:3, 

 w = 12, et par conséquent np=:36, p^~\p — l)-i-n = 3\' 2-i-l 2, tandis que le produit Kp 

 n'est égal qu'à 27. Quand il s'agira donc de modules composés, il faudra, pour arriver aux 

 résultats les plus généraux et en même temps les plus simples, remplacer les formules 



[aP—xf = O(mod./) , — l)a;" = 0(mod./) 



par la formule factorielle 



X = {x—\){x—^)[x—3) [x—Kp) = 0 (mod./^). 



1 , Ep 



8. Appliquons la méthode qui vient d'être exposée à un exemple numérique. Soit donnée 

 la fonction irréductible du 9^™^ degré 



f[x) = a;^— x'-f-2520 ; 



il s'agit de déterminer son diviseur numérique invariable. Ce diviseur, s'il existe, devra être fac- 

 teur du dernier terme 2520 ; par conséquent, en observant que 



2520 = 2!3!5.7, 



les nombres premiers à essayer seront 2, 3, 5 et 7. 



