Sur les diviseurs numériques invariables. 



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on trouve 



X^^^ = ;r''-f-6^^-i-25^''-i-90^'H-301 ^'-+-966^-1-3024 

 pour premier quotient, et 



3:1036^' — 3!3052a;-+-3!2296 



pour premier reste, d'où l'on conclut que — x^-f-2520 pourrait être identiquement divi- 

 sible par 3' ; on s'assure de cette divisibilité en continuant le calcul. Divisons donc X^^^ par 

 i^x — 4) — ^){x — 6) = x^ — i5x^-t-7 ^x — 120; on trouvera pour second quotient 



X^^^ = a;'-i-2ia;'-+-266^-i-2646 



et pour second reste 



I^^ = 3.7609^'— 3M810^H-3. 106846. 

 Ici le calcul est terminé, ce que l'on voit de suite par la transformée 



.ic'-i- 2520 = 



_H (^a;—i){x—2){x—3)R\ -f- {x—i){x—2){x—3){x—à.){x—b){x—6)X^^^i 



en effet, son premier terme est identiquement divisible par 3' ; le second également, puisque 

 chacun de ses facteurs [x — i)[x — 2) — 3) et R'^ est congru à zéro suivant la première puis- 

 sance de 3 ; quant au troisième terme, son premier facteur, c'est-à-dire la factorielle 



^a;—l){x—2){x—3){x—^){x—5)x—6), ' 



est identiquement divisible par 3'. Donc on aura la congruence identique 



a;'— ^'-t-2520 = 0 (mod. 3'). 



Il ne reste plus à essayer que les facteurs simples 5 et 7 du nombre 2520. Pour savoir 

 si x^ — a;^-t-2520 est identiquement divisible par 5, on devra diviser cette fonction soit par la 

 factorielle [x — 1) — 2) — 3) {x — 4) (^c — 5), soit par la différence x^ — x qui est plus 

 simple. En divisant donc x^ — x"-t-2520 par x^ — x, on obtient le quotient x''-+- 1 et le reste 

 — x^H- -H 2520. Or, comme ce reste n'est pas identiquement divisible par 5, il s'en suit 

 que le polynôme x^ — a;^-i-2520 n'est pas identiquement congru à zéro suivant le module 5. 

 Donc, le nombre 5 n'entre pas, comme facteur, dans le diviseur invariable cherché. 



Enûn, si l'on divise x^ — x^-i-2520 par x'^ — x, on reconnaîtra que — .r^-i-2520 est 

 identiquement divisible par 7. En effet, on aura x"^ pour quotient et le nombre 2520, mul- 

 tiple de 7, pour reste. Donc, définitivement, le diviseur numérique invariable du polynôme 

 x^ — x^-i- 2520 sera égal au produit 2?3?7 = 504, et le quotient 



