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V. BOUNIAKOWSKY. 



pour une valeur entière quelconque de x, se réduira toujours à un entier. Ainsi, pour a;= 0 

 et 1 , ce quotient E obtient la valeur 5, pour a: =2, E=%, pour a; =3, £=44, pour 

 a;= 4, £= 525 etc. On voit que ces quatre valeurs de E n'ont pas de diviseurs communs, 

 et que le nombre £ = 5 est premier. 



L'exemple que nous venons de traiter, sans aucune abréviation de calcul, est très simple; 

 c'est pourquoi on aurait pu parvenir' à la valeur du diviseur invariable cherché d'une manière 

 encore plus expéditive. En effet, si l'on observe que dans l'expression 



f[x) = a;^— ^^-h2520 = 1) h- 2520 



le facteur — 1 est divisible par 8 = 2^ pour toutes les valeurs impaires de x, et pour 

 toutes les valeurs paires, on en conclut que x^[x'^ — 1) est identiquement divisible par 2^, et 

 par suite la fonction {{x) elle même, à cause du nombre 2520, multiple de 8. De même, puis- 

 qu'en veitu du théorème d'Euler la différence x^ — 1 est congrue à zéro suivant le module 3^ 

 pour des valeurs de x non-divisibles par 3, on aura la congruence identique 



ap'(a;'— 1) =0(mod.3'), 



qui entraine la suivante : 



a;9_^3_^2520 = a;. a;' (^^—1) -1-2520 = 0 (mod. 3'). 



Enfin, par le théorème de Fermai, x^ — 1 est divisible par 7 quand x est premier à 7 ; par con- 

 séquent x' — X, et par suite x^ — a;^-i-2520 = x^{c^ — a;) -1-2520, sera toujours divisible par 

 7. On obtiendra donc de cette manière le même diviseur numérique invariable 2?3?7 = 504. 



9. Après la méthode que nous avons exposée pour la détermination du diviseur numé- 

 rique invariable d'une fonction entière à une seule indéterminée, on pourrait se proposer de 

 généraliser le procédé en l'étendant à une fonction entière à plusieurs indéterminées indépen- 

 dantes. La solution complète de cette question donnerait lieu, peut-être, à quelques difficultés. 

 Mais, dans des cas particuliers, on trouve souvent le diviseur cherché d'une manière fort 

 simple. Pour en présenter un exemple, rappelons nous d'une propriété bien connue des solu- 

 tions de l'équation indéterminée 



2 2 2 



X -\-y = z , 



X, y &i z étant des entiers. On sait que le produit xyz des trois nombres satisfaisant à cette 

 équation est toujours divisible par 60. Or, comme sa solution générale est donnée par les 

 formules 



w et D étant des entiers arbitraires, il s'en suit que le produit 



2md (m^ — v^) = xyz 



