Sur les diviseurs numériques invariables. (23) 3 2 7 



est toujours divisible par 60, ou bien que la fonction du 6^"™^ degré à deux indéterminées in- 

 dépendantes 



(m V ) 



est constamment divisible par 30 — 2.3.5. 



Pour le prouver, il suffira de prendre en considération que l'on a identiquement 



vvP — uv^ = 0 (raod. p), 



p étant un nombre premier quelconque, et w , u des entiers arbitraires. L'identité de cette con- 

 gruence est manifeste : en effet, quand m et v sont premiers à p, le théorème de Fermât donne 



uP-'— 1 = 0 [mod.p] , vP-'— 1 = 0 (mod.p), 



et par conséquent 



uP-^ — vP-'^Oimod.p), 



congruence qui a également lieu quand u et v sont tous deux multiples de p. Pour l'étendre 

 au cas où l'un de ces deux nombres seulement serait multiple de p, il suffit de la multiplier 

 par le produit uv, ce qui donnera de suite 



vuP — uvP = 0(mod. p), ou bien uv[uP~^ — v^"^) = 0 [moà.p). 



Cela posé, en prenant successivement p = 2, 3 et 5, on obtient les formules 



, uv [u — v) = 0 (mod. 2) , uv [%? — u^) = 0 (mod. 3) , uv (m* — v'') = 0 (mod. 5), 



et comme la fonction que l'on considère 



est divisible sans reste par chacune des trois expressions 



uv [u — v) , uv (tt^ — u^) , uv {u' — v^) , 



on en conclut immédiatement qu'elle est divisible par les trois facteurs premiers 2, 3, 5, et par 

 conséquent par leur produit 2.3.5 — 30. Donc, le quotient 



uv (m* — t)*) 

 30 ' 



pour des valeurs entières quelconques de u et v, sera toujours lui même un entier. 



10. L'analyse exposée dans les nn**' précédents résout complètement la question de la 

 détermination du diviseur numérique invariable d'une fonction entière, réductible ou irréduc- 

 tible, à une seule indéterminée. En se débarassant, par la division, de ce facteur invariable, on 

 arrive, quand on opère sur une fonction irréductible, à un polynôme que nous avons appelé 



