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V. BOUNIAKOWSKY. 



indivisible (n° 1). Ainsi, dans l'exemple du n° 8, comme la fonction — x"-+-2b20 est irré- 

 ductible, et qu'elle a pour diviseur invariable le nombre 504, le trinôme 



= _i_ 5 



o04 504 



sera indivisible, et représentera, comme il est impossible d'en douter, une infinité de nombres 

 premiers, en attribuant successivement à x toutes les valeurs entières possibles. La propriété 

 que nous venons de signaler, et qui se rapporte aux fonctions indivisibles, est l'extension du 

 fameux théorème connu sur les progressions arithmétiques, en vertu duquel toute progression de 

 cette nature, dont la raison et la différence sont des nombres premiers entr'eux, comprend une infi- 

 nité de nombres premiers. Cette proposition, qu'on démontre rigoureusement, a lieu pour la 

 fonction linéaire indivisible 



a^x-t-a^; 



or, nous afûrmons que la même propriété a également lieu pour le polynôme d'un degré quel- 

 conque m 



7YI TH. 1 



a^x -t-a^x -H -i-a^_^x-i-a^, 



lorsque ce polynôme est indivisible dans le sens que nous avons attaché à ce dernier terme à 

 la fin du n° t. Il en est de même d'une fonction entière indivisible à plusieurs indéterminées. 

 Ainsi, l'expression 



uv (m* — t)*) 

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traitée dans le n° précédent, comprend une infinité de nombres premiers en attribuant successi- 

 vement des valeurs entières, tout-à-fait arbitraires, aux deux indéterminées u et v. 



n est à présumer que la démonstration rigoureuse du théorème énoncé sur les progres- 

 sions arithmétiques des ordres supérieurs conduirait, dans l'état actuel de la théorie des nombres, 

 à des difficultés insurmontables ; néanmoins, sa réalité ne peut pas être révoquée en doute. 

 On pourrait présenter quelques considérations qui serviraient à renforcer la probabilité de l'ex- 

 actitude du théorème dont il s'agit. Ainsi, en partant de l'hypothèse que le polynôme f{x) est 

 indivisible, c'est-à-dire qu'il n'admet aucun des deux caractères de divisibilité, mentionnés dans 

 le n" 1 , l'on pourrait raisonner de la manière suivante : la fonction f{x) n'admet aucun carac- 

 tère de divisibilité, tant qu'on n'attribue pas de valeurs particulières k x; si donc, pour une 

 valeur déterminée de x, elle devient divisible par un nombre quelconque, il faut en conclure 

 que ce cas est exceptionnel, et qu'il est dû à la nature de la valeur particulière de x qu'on a 

 employée. Or, si en donnant successivement à x toutes les valeurs entières, depuis x = i jus- 

 qu'à X = oo, on obtenait constamment pour f[x) des nombres composés, ne serait-il pas na- 

 turel de conclure que la divisibilité de f{x) est une propriété inhérente à cette fonction ? Une 

 telle assertion impliquerait contradiction, car nous avons supposé plus haut que le polynôme 



