SPECIELLEN FaLL DES PeOBLEMS DER DREI KÖRPER. 



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Wir wollen sogleich hier noch einige Bemerkungen über die «Anzahl der Argumente» 

 hinzufügen, welche nach der im Folgenden benutzten Methode in die Lösung des Problems, 

 die Bewegung allgemein von p Planeten um die Sonne zu bestimmen, eingehen. Wenn hier 

 von der Anzahl der Argumente die Rede ist, sollen dabei natürlich nur diejenigen Argu- 

 mente in Rücksicht gezogen werden, aus deren ganzen Vielfachen sich alle in den Bewegungs- 

 gleichungen der j> Planeten vorkommenden Argumente durch Addition und Subtraction bilden 

 lassen. Nennen wir dann v,v', v" etc. die in der schon erwähnten Weise gerechneten wahren 

 Längen in der Bahn für die p Planeten, und verstehen wir unter ç, с,', ç'' etc, und unter 

 T, etc. constante Grössen von der Ordnung der Verhältnisse der Massen der p Planeten 

 zur Masse der Sonne — Grössen, deren Bedeutung aus dem Folgenden zu ersehen ist — , 

 so ist schon nach Analogie der nachstehenden Untersuchungen ersichtlich, dass sich alle 

 Argumente, welche in die Gleichungen für die Bewegungen der p Planeten eingehen, abge- 

 sehen von additiv hinzutretenden Constanten, aus den folgenden Grössen zusammensetzen: 



■y, v', v" etc. 

 ÇV, ÇV, ç'V etc. 

 T'y , T v etc. 



Die Anzahl der Argumente ist also 3p — 1, im speciellen Falle für das Problem der 

 drei Körper demnach fünf. Dabei ist zu beachten — was hier nur historisch, ohne Beweis, 

 angeführt werden kann — dass einerseits die Producte n {2c, — ^;^), n {2ç — ç'^), 

 n" {2c' — ç"^) etc., wobei die n die entsprechenden mittleren Bewegungen der Planeten 

 sind, und andrerseits die Producte n' (2т' т'-), n" (2т;" -+- т"^) etc. Wurzeln je einer al- 

 gebraischen Gleichung mit reellen Wurzeln sind. Der Umstand, dass die Zahl der с um eine 

 Einheit höher ist als die der т, oder, was dasselbe besagt, dass die eine der Grössen т ver- 

 schwindet, ist begründet in der Thatsache, dass sich alle Planeten für alle Zeiten in einer 

 durch den Sonnenschwerpunkt gelegten Ebene bewegen würden, wenn dieses in einem be- 

 stimmten Augenblicke der Fall wäre. Ist die Masse des einen Planeten, beispielsweise des 

 p-im Planeten, verschwindend klein gegenüber den Massen der übrigen, wie dies bei den 

 kleinen Planeten gegenüber den grossen der Fall ist, so erniedrigen sich die Gleichungen 

 für die Ç und für die т um einen Grad und geben für den р-іг\\ Planeten keine Wurzel 

 mehr; vielmehr müssen in diesem Falle c;'^' und т*^^ nach der Art und Weise ermittelt 

 werden, welche in den nachstehenden Untersuchungen angewandt ist. 



Hält man die im Folgenden benutzten Grundlagen fest, so scheint es nicht möglich, 

 die Anzahl der Argumente zu erniedrigen, wenn nicht die Folge davon sein soll, dass schon 

 in der ersten Annäherung cdiyperelementäre» Glieder, d.h. Glieder auftreten, welche in den 

 Bewegungsgleichungen von der minus ersten Ordnung in Bezug auf die Verhältnisse der 

 Massen der p Planeten zur Masse der Sonne sind. Dem entsprechend würden dann in den 

 folgenden Annäherungen Glieder von der minus zweiten, dritten etc. Ordnung in den Be- 



