SPECIELLEN FaLL DES PeOBLEMS DER DREI KÖRPER. 



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Das zweite Glied dieses Ausdrucks aber ist in unseren Entwickelungen, vorausge- 

 setzt, dass X nicht selbst von der Ordnung der Masse m sehr klein ist, wegen der Glieder 



der ersten Ordnung in Bezug auf die Masse ш' sind, um die Ordnung der Masse m höher 

 als das erste Glied. Man kann dann das zweite Glied des Ausdrucks (b) eben so be- 

 handeln, wie den Ausdruck (a) und erhält als Zusatzglied ein Integral, dessen "Werth von 

 der zweiten Ordnung in Bezug auf die Masse ist u. s. w. Enthalten aber Ä cos Ѣ' und 

 Ä sin B' in den Argumenten die Funktion Jvt^z;, so ist das zweite Glied des Ausdrucks (b) 

 von der Ordnung der Grösse v, welche, wie schon erwähnt, in den an die Commensurabilität 

 streifenden Fällen einen in Bezug auf die Masse ѣъ sehr beträchtlichen Werth erhalten 

 kann. Die nach der skizzirten Methode erhaltene Reihe für das Integral (a) schreitet dann 

 nicht fort nach den Potenzen der Masse m ^ sondern nur nach denen von v. "Wenn nun schon 

 die Reihenentwickelungen nach den Potenzen von v immer sehr gut convergent sein werden, 

 selbst in den Fällen strenger Commensurabilität, so ist es doch vorzuziehen, Reihen nach 

 den Potenzen der Massen der grossen Planeten zu erhalten, als solche nach den Potenzen 

 von V. Man könnte nun wegen zweier Punkte glauben, dass die hier erwähnten Schwierig- 

 keiten, welche in der ungenügenden Convergenz der Entwickelungen nach den Potenzen von 

 \^dv und von V begründet sind, auf dem von uns eingeschlagenen Wege nicht beseitigt seien. 

 Erstens nämlich ist, wenn v gross ist, wie weiterhin klar werden wird, aucli die Grösse <; 

 gross und die Differentiale von Ä cos Б' und Ä sin ѣ! nach v sind bei uns Ausdrücke von 

 der Ordnung ç; da jedoch ç nur in v multiplicirt vorkommt, kann man sich diese Grösse 

 immer in den Factor X des Integrals (a) übergeführt denken, sodass ein noch so beträcht- 

 licher Werth von ; nicht die geringsten Schwierigkeiten darbietet. Zweitens aber tritt bei 

 unserer späteren Behandlungsweise in den Argumenten der trigonometrischen Funktionen 

 eine dem Ausdrucke Jvf^y entsprechende Grösse J?2 auf, welche dieselben Unbequemlichkeiten 

 zu bereiten scheint, wie der Ausdruck ^^dv. Der wesentliche Unterschied aber ist der, dass 

 die Differentialgleichung, welche vpir für aufstellen werden und welche den Kernpunkt 

 unserer Methode bildet, gestattet für cos und sin U^^ unter allen Umständen gut convergente 

 trigonometrische Reihen anzugeben. Mit Benutzung der aus den Reihen für cos und sin ѣ,^ 

 sich algebraisch ergebenden Reihen für coswT^gUnd sin wJKg kann man dann leicht die Funktion 

 aus den Argumenten entfernen, ohne eine Entwickelung nach den Potenzen von vor- 

 zunehmen, deren Convergenz, wenn man sich auf die ersten Glieder beschränken wollte, 

 sehr fraglich wäre. In Folge dieser Entfernung von aus den Argumenten trigono- 

 metrischer Funktionen kommt es auf dem von uns eingeschlagenen Wege nur darauf an, 

 solche Integrale von der Form (a) zu ermitteln, in welchen ^ und ^"^ ^ ? weil 



sie nicht mehr enthalten, wirklich von der Ordnung der Masse sind. 



11. In unseren bisherigen Entwickelungen kommen noch zwei "Variabele v und v vor; 

 da wir V als unabhängige Variabele eingeführt haben, ist unsere nächste Aufgabe die Er- 



äA' cos Ѣ' dA' sin B' 

 dv ' dv 



, welche, als Differentiale langperiodisch elementarer Funktionen von 



Mémoires de l'Acad. Imp. des sciences. ѴПше Série. 



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