60 



Paul Harzee, Unteesuchungen übee einen 



grösser ist, als V2f. In diesem Falle enthält die Entwickelung von das dem Winkel 



V proportionale Glied ^"ov, in welchem К das vollständige elliptische, zum Modul 



^ _ v|ß gehörige, Integral erster Art bedeutet ; ф -+- ^ wächst in Folge dessen mit wach- 

 sendem V unbegränzt. Dieser Fall ist also der des rotirenden Pendels. Nimmt der Werth 

 von 0 ab, so wird die Geschwindigkeit der fortschreitenden Bewegung immer geringer und 

 gelangt ö zu dem Werthe y2ß(l-+-e), wobei e eine positive, ausserordentlich kleine Grösse 

 bedeutet, so ist der Ausdruck ~ ö eine Grösse von der Ordnung geworden. In diesem 

 Falle geht das Pendel mit ausserordentlich geringer Winkelgeschwindigkeit durch die 

 höchste Lage. Ist e streng gleich Null, der Werth des Moduls also streng gleich der Einheit, 

 so gelangt das Pendel in die höchste Lage mit der Winkelgeschwindigkeit Null und bleibt 

 dort im labilen Gleichgewichte stehen. Nimmt о noch weiter ab, so würde der Werth des 

 Moduls ^ grösser als die Einheit und die Formel (8) hat dann keine reelle Form mehr; 

 um diese herzustellen muss man den reciproken Modul einführen, was vermittelst der Formel: 



(9) 



sin (ф-н^) = ~sn (V2^V4-^ F, 4=1 



geschieht. In diesem b'alle erreicht das Pendel nicht die höchste Lage, sondern nur den 

 Ausschlag 2ф -t- 2^ = 2 arc sin , kehrt um und erreicht auf der anderen Seite der 

 Verticalen denselben Ausschlag u. s. w. Da folglich der Winkel 2ф-н2^ kein der Zeit oder 

 dem Winkel v proportionales Glied enthalten kann, muss in dem Falle, dass ö kleiner als 

 ѴЩ ist, nach der Definitionsgleichung (4) des Paragraphen 12, die Constante S-+-ç ver- 

 schwinden. Die Gleichung (9) entspricht dem oscillirenden Pendel; die Dauer einer Oscillation 

 ist, wie diese Gleichung lehrt, gegen die ümlaufszeit des Planeten m gross von derselben 

 Grössenordnung, wie — • 



In den Bewegungsgleichungen kommen keine Glieder vor, welche für irgend einen 

 Werth von ö unendlich gross würden. 



In ganz derselben Weise wie das ebene Pendel in Bezug auf die Verticale verhält sich 

 der wahre Radius vector des Planeten mit der Masse m in Bezug auf einen fingirten Radius 

 vector, dessen fortschreitende Bewegung durch die mittlere Bewegung des Planeten mit der 

 Masse m bestimmt ist und nicht von der mittleren Bewegung des Planeten mit der Masse m 

 abhängt. Wir können nämlich der Formel für v die folgende Gestalt geben: 



(10) 



und schliessen dann aus den Gleichungen (6) und (9) des Paragraphen 11 und aus der 

 Gleichung (4) des Paragraphen 12, dass w den folgenden Werth hat: 



