SPECIELLEN FaLL DES PeOBLEMS DER DEEI KÖRPER. 



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heit wird, so dürfte zu überblicken sein, dass in der That eine Entwickelung nacli den 

 Potenzen von В^, bei welcher man nur die ersten Potenzen berücksichtigt, absolut 

 unbrauchbar sein kann. Schon die Grösse der Glieder von 2B^ selbst nur in dem Falle der 

 approximativen Commensurabilität des nachstehend numerisch behandelten Falles spricht 

 sehr deutlich, wenn nicht gegen die Möglichkeit einer derartigen Entwickelung , so doch 

 jedenfalls gegen die Zweckmässigkeit derselben. 



Noch möge darauf besonders aufmerksam gemacht werden, dass nach den mitgetheilten 

 Formeln der üebergang von den Formeln für die approximative Commensurabilität zu 

 denen für die strenge Commensurabilität erfolgt, ohne dass unendlich kleine Integrations- 

 divisoren auftreten, wie dieses bei der gewöhnlichen Behandlung des Problems nothwendiger 

 Weise stattfindet. Und zwar gilt diese Bemerkung nicht etwa nur in Bezug auf die in ф 

 enthaltenen Glieder der wahren Länge, sondern auch in Bezug auf die Glieder von p, wie 

 sofort nach den Entwickelungen der Paragraphen 12 bis 14 einleuchtend ist. Bei dem in 

 Frage stehenden Uebergange handelt es sich ja nur um die Transformation von elliptischen 

 Funktionen auf solche, welche zum reciproken Werthe des Moduls gehören. 



Die vorstehenden Bemerkungen sind nun in sofern nicht vollkommen für unser 

 Problem zutreffend , als wir bisher auf die Variabilität von ß cos 2'^ und ß sin 2^ und 

 den Werth von X nicht Rücksicht genommen haben. Bei der Beseitigung dieser Be- 

 schränkung erleiden die obigen Bemerkungen kleine Aenderungen; beispielsweise wird im 

 Falle der strengen Commensurabilität die mittlere Bewegung nicht durch die Gleichung 

 sondern allgemein durch dargestellt sein, wobei a eine Constante von der Ordnung 

 der Masse der grossen Planeten ist , zu deren Unterschiede von c, die Variabilität von 

 ß cos 2^ und ß sin 2^ und der Werth von X beitragen können. Immerhin geben diese 

 Bemerkungen ein im Ganzen entsprechendes Bild der Sachlage, wenn man die Grösse F 

 nicht als eine Constante und den Modul der elliptischen Funktionen gleichfalls als variabel 

 denkt. In welcher Weise diese Grössen von der Variabilität von ß cos 2îy und ß sin 2^ und 

 dem Werthe von X abhängen, wollen wir im nächsten Paragraphen kennen lernen. Wir 

 werden uns dabei darauf beschränken, die Formeln für den Fall der approximativen Com- 

 mensurabilität zu entwickeln, weil der Fall einer strengen Commensurabilität der mittleren Be- 

 wegungen im Verhältnisse von 1 zu 2 bei den kleinen Planeten wahrscheinlich nicht vorkommt. 

 Uebrigens dürfte die weitere Behandlung des Falles einer strengen Commensurabilität kaum 

 grössere Schwierigkeiten darbieten, als des einer approximativen Commensurabilität. Jeden- 

 falls aber haben, während alle Entwickelungen bisher für beide Fälle gleichmässig galten, 

 die folgenden Entwickelungen alle nur für den Fall der approximativen Commensurabilität 

 eine reelle Form. 



16. Die in diesem Paragraphen auseinandergesetzte Methode zur Integration der 

 Gleichung (5) des vorigen Paragraphen habe ich Herrn Gyldén's Manuscripten entnommen, 

 in welchen sie sich schon fertig vorfand, als ich auf diese Gleichung geführt wurde, Herr 



