0. Backlund, 



III. Entwickelung von f A )' in trigonometrische Reihen. 



Die Hauptaufgabe unserer Untersuchung besteht darin, zweckmässige Methoden zur 

 EntWickelung von {^j in trigonometrische Reihen nach den Vielfachen der mittleren, der 

 excentrischen oder der wahren Anomalie zu finden. Dazu wollen wir zunächst eine Reihe 

 ableiten, welche den Uebergang zu jenen in bequemer Weise vermittelt. 



Es sei 



U = JJL COS X -+- V COS V/, *) 



wo р. und v die Bedingung 



JJ. -i~ v = 1 



erfüllen müssen, wenn U als reelle Grösse die Grenzen — 1 und -+- 1 nicht überschreiten 

 soll. Führen wir diesen Ausdruck für U in die Gleichung (3) ein und ersetzen die Potenzen 

 von Cos x und Cos у durch die Cos der Vielfachen von x resp. y, so ergiebt sich folgende 

 Form für (^j : 



CO CO 



wobei zu beachten ist, dass man 4 mit 2 zu vertauschen hat, wenn i oder j gleich Null 

 sind, und mit 1 , wenn diese beiden Indices gleichzeitig Null sind. 



Die angedeutete Substitution muss jetzt ausgeführt werden um den analytischen Aus- 

 druck von Р ( *\ . zu erhalten. Vor allen Dingen haben wir also U n zu entwickeln. Indem wir 

 zu dem Zweck 



(7) = 4 22 г»*»***»* 



setzen, wo 4 durch 2 zu ersetzen ist, wenn г = 0 oder j = 0, und durch 1 , wenn i —j = 0, 

 so ist es unsere erste Aufgabe die ß zu bestimmen. Setzen wir für einen Augenblick 



ßi»>) — _2lL 



1 J i,j ~ U(n) u i,P 



so wird 



U n = 4 Ъ {П \ j cos ix cos jy, 



Nun ist aber nach der Theorie der Fourier'schen Reihen 



•1С 



b [H \ j = ^2 I cosix cos jy U"dxdy 



*) Diese ist dieselbe Bezeichnung, welche Hr. Tisserand in seinem Mémoire: Sur le développement de la 

 fonction perturbatrice in den Pariser Annalen, Tome XY, anwendet. 



