10 О. Backlund, 



Für г — j = 0 werden beide Formeln gleichzeitig illusorisch, und folglich muss für 

 diesen Fall ein anderer Ausdruck abgeleitet werden. Setzen wir zu dem Zweck wieder 

 n — 1 statt n in (7) und multipliciren beiderseits mit 2|A C0Sa; ^~ 2v cosy , so kommt 



(2 Щп) X (2ttcosa:-b-2vcosy) = ^ t cos (* ~*~ l ) x cos (г— l)«]cosy 



v[cos(j-i- \)y-+- cosO* — l)«/]cos«'a;}. 



Da aber die linke Seite identisch mit (2 Uf ist, so erhält man durch Vergleichung der 

 rechten Seite dieses Ausdruckes mit der rechten Seite von (7) 



Diese Formel hat allgemeine Gültigkeit, ist aber nur zur Berechnung von ß (n) 0J0 ge- 

 eignet. Indem wir nun Rücksicht auf die Identitäten 



nehmen, so werden unsere Formeln: 



(8) 



>(«) iLfS*' 1 " - '' 



i,j — г ^ i—tjj 



>,3 3 ^ 43— 1 Г 



Diese können als Grundlage für die numerische Rechnung dienen. Alle drei Formeln 

 lassen sich auch durch eine einzige ersetzen, die bei grossen "Werthen von n mit Vortheil 

 angewandt werden kann. Addirt man nämlich die obigen Ausdrücke für n$ {n) Pj , i & {n \,j und 

 j$ m pj, so ergiebt sich: 



(») ' n,j = ~ 



Als Controlle für die Rechnung hat man, indem x = y = 0 gesetzt wird: 



П(п) ~~ P i,J- 



Mit Hülfe der Formeln (8) oder (9) lassen sich ohne Schwierigkeit auf inductivem Wege 

 unabhängige Ausdrücke für ß (n) ^. ableiten. Ein solcher ist der folgende: 



