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BOUNIAKOWSKY 



Et d'abord^ observons que s'il ne s'agissait que de satisfaire à l'équation 



a 



b "~ x-fl y-{-i z-f 1 



sans assujettir son second membre à contenir le moindre nombre possible 

 de facteurs , ^^-^ on y parviendrait très facilement de plusieurs 

 manières différentes: on pourrait, par exemple, se servir de la décompo- 

 sition que fournit l'identité 



, V a a a-{-i a-}-2 b—i 



' T ~ ■^+1 * api ' **" ~T~ ' 



qui donne b — a fractions composantes. Le nombre de ces dernières peut 

 être, en général, considérablement diminué en suivant la marche que nous 

 allons exposer. Soit 



T - 7 * ^ ' 

 en résolvant cette équation par rapport à u, on aura 



aq 



u — j-J—. 

 bp—aq 



Pour que cette valeur de u soit entière, il faut supposer que bp - aq est 

 un diviseur du produit aq. Sans nous arrêter pour le moment à cette hy- 

 pothèse, qui est la plus générale, nous ne considérerons que le seul divi- 

 seur 1, et nous poserons en conséquence 



(3) bp — aq—i, 

 ce qui donne 



(4) uziza q. 



En représentant par p zz. a et q la solution minimum de l'équation 



(3), les valeurs générales de ces indéterminées seront données par les for- 

 mules 



pz:za-\-ak et qzz.^~\~bk, 

 où l'on a a "< a, (3 ■< Z> et A: un nombre entier, aussi grand qu'on voudra. 

 Nous disons que rien ne limite la valeur de k, car q étant plus grand 

 que p, l'on devra avoir 



