Analyse de Diophante 



fi-^bk-^ a + ak, 



et par suite 



k > , ou bien > — ; 



b — a ^ b — a 



mais l'on a évidemment en effet, de l'équation ba — o/j— 1 l'on 



tire (b — a) a — a{(i ~ a)-\- i , et puisque le premier membre de cette 

 équation est positif, il faudra que le second le soit de même, ce qui n'au- 

 rait pas lieu si était plus petit que a. Donc, le second membre de l'iné- 

 galité précédente sera négatif, et comme de plus p et <7 sont essentiellement 

 positifs, il s'en suit qu'on pourra attribuer à k toutes les valeurs possi- 

 bles, entières et positives, c. à. d. qu'on pourra faire successivement k-zzo, 

 ,1> 2, 3 



Ne considérons pour le moment que la seule valeur k::z.o. Nous 

 aurons pz=.a et qz=.(i, et les équations (2) et (4) se réduiront à 



u — aft. 



a a 



b — 



d'où 



a a a p 



T f ^ a/3 + 1 * 



Ayant ainsi déterminé p et q l'on supposera de nouveau 



a p' z 



7 — 7 • qii ; 



représentant par a et la solution minimum de l'équation 



(Sp' — aq'zzl, 



on aura 

 et par suite 



a a' (z/3' 



De même, en posant 



^ ^ p" r 

 7 — 7 * j+î ' 



