Analyse de Diophank 5 

 il s'agit de savoir dans quel cas on pourra faire q — p-\- 1. Nous aurons 



a q 



" =^ I—^ — 



bp — aq 7 



et pour que u se réduise à un entier, on devra nécessairement avoir 



bp — aq ~ D {aq), 

 en dénottant par D [aq) un diviseur du produit aq. Si l'on met le divi- 

 seur D (aq) sous la forme D (a). D (q), on aura 



bp — aq ^ D {a). D {q). 



Or, comme a et b, de même p et q, sont respectivement premiers entr'eux, 

 il s en suit que D (o) sera diviseur de p, et D (q) de b. On aura donc 



bp— aq — D[a). D{b) — D(ab). 



Dans l'hypothèse de ^ — p -f- 1, cette équation donne 



(5) P = '^- 



Ainsi, pour que la fraction soit décomposable en un produit de deux frac- 

 tions • — T-r, il faut, en vertu de cette dernière formule, qu'un divi- 



p-\-\ u-\-\ ' 



seur D (ab) de ab, augmenté de a, soit divisible par la différence b — a. 

 Si cette condition est remplie, la solution de l'égalité 



a p u 



D(ab)^a 



P b - a 



sera donnée par les équations 

 (6) 



i n — 



D{ah) 



Supposons actuellement qu'aucun des diviseurs du produit a 6 ne rem- 

 plisse la condition (5); ce sera un caractère certain que la fraction 

 y n'est pas décomposable en deux facteurs de la forme J^j —^ . Il faudra 

 voir alors si elle n'est pas susceptible d'être décomposée en trois facteurs 



