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B 0 U N I A K 0 W S KY 



de cette même forme. Pour cela soit 



a p 



(^) 



b q u-\-\ 



P P' 2 



q — q' , + 1' 



a 



~b 



£. gt £- étant des fractions irréductibles. Si est décomposable en trois 



q q h r 



facteurs, la fraction — sera décomposable en deux, et l'on aura q^p'-\-i. 



Or, pour que — soit égal à • j^:^, il faut d'abord que l'on ait 



q - p 



— Pq' 



z zz — r-^ — ; — entier, 



qp -pq 



ce qui exige, comme on l'a déjà vu, que la valeur 

 (8) p -?^^^- entier. 



\ / f q-p 



il s'agit donc actuellement de déterminer les valeurs de p et q. La pre- 

 mière des équations {l) donne 



aq 



u — - 2 — 



bp — aq 



d OÙ l'on conclut, comme plus haut, 



bp — açzziD(ab). 



Le produit ab aura plusieurs diviseurs 5 considérons l'un quelconque d'eux, 

 pour lequel nous conserverons la notation I) (ab). La solution complète 

 de la dernière équation sera donnée par les formules 



p=.aD{ab)—ak, q=^D(ab)—bk, 

 a et ^ représentant la solution minimum de l'équation 



ba — a^—l, 



et k étant un entier, positif ou négatif. La limite supérieure du nombre k, 

 qui correspond aux valeurs minima de p et q, peut être facilement déter- 

 minéej en effet, si l'on observe que q'p-p, on aura 



§D{ab) — bk::>aD{ab) — ak, 



