Analyse de Diophante. 1 



d'où 



(9) j^^i?-a)r>iat)^ 



Pour ce qui regarde la limite inférieure de k, qui fournirait pour p 

 et q la solution maximum, nous ne la déterminerons que pour le cas où 

 la fraction proposée y sera inférieure à y» 



On a vu plus haut que p et q sont des nombres qui satisfont à la 

 condition 



^^^^^+^- entier.' 



q-p 



Si 1 on ajoute 1 au premier membre de cette équation;, on aura 



^^i^ entier. 



Faisons pzzPP', qzziQQ', et admettons que D{pq)-ZZL PQ; nous aurons 

 PQ-'rPP _ PQ'^QQ ^ entier. 



q-p q-p 



Or, et étant deux fractions irréductibles, car p et a sont premiers 



9-p 9-P ^ ^ ^ 



entr'eux, il s'en suit que les deux expressions 



1-P 1-P 



sont entières. Donc 



Q+P'>q-P et P^q^q-p, 



le cas d'égalité n'étant pas exclu. De là on tire 



Q>{q-P)-P'> Q'>(q-P)-P; 



multipliant ces deux inégalités l'une par l'autre, et observant de plus que 

 QQ'«^, PP'^p, on aura 



q>iq-pr-{q-pKP-^n+p> 



d'où 



q-P>(q~p)[q-P-P-P'], 



et enfin 



