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Pour rendre le second membre de cette inégalité le plus grand possible, 

 il suffit évidemment de remplacer la somme P-j-P' des deux diviseurs de 

 p par p-\-l\ on aura de cette manière 



En substituant h p et q leurs valeurs p'^aD{ab) — ak, q—fWiab) — bk, 

 on trouvera 



^D{ab)—bk<i2aD{ab) — 2ak-[-2, 



d où l'on déduira 



(10) -^^ i-2a pour 6 — 2a<o, ou bien pour y <-i. ; 



il faut remarquer que la valeur numérique du second membre de cette iné- 

 galité restera constamment inférieure à l'unité négative, et que par con- 

 séquent k ne pourra être que nul ou positif. Pour s'en convaincre il suffira 

 d'observer que l'équation ba — a^~i, mise sous la forme (b — 2a) a~ 

 {(j~2a)a-\-i, prouve que b-^2a'^(^ — 2a, et que les différences b — 2a 

 et /? — 2a sont de même signe, et nommément toutes deux positives. 



Si l'on avait au contraire y >► y, l'inégalité (lO) deviendrait 



qui serait vérifiée pour toutes les valeurs négatives possibles de k. De 

 cette manière on obtiendrait une infinité de systèmes pour p et ç: mais il 

 pourrait arriver que tous ces systèmes devraient être rejetés, aucun d'eux 

 ne satisfaisant à la condition (8). 



Après avoir trouvé pour un diviseur déterminé D{ab) de ab une ou 

 plusieurs valeurs de p et q, on les décompose en facteurs pour voir si la 

 formule (8) est vérifiée. On fait le même calcul pour chacun des diviseurs 

 du produit ab. Si un ou plusieurs des systèmes de valeurs de p et ^ 

 satisfont à la condition (8), on en conclut que y est décomposable en trois 

 facteurs, que l'on détermine par les formules qui ont été trouvées plus 



