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Quand ou aura trouvé la solution de la transformée, celle de l'équation (i) 

 s'en déduira de suite. En effet, soit x — a, y — kxzz:^, on aura 



x~aety~/3-\-ka. 



Gela posé, admettons en premier lieu quil s'agisse de résoudre l'é- 

 quation 



Mx -- py — 1, 



dans laquelle M est un nombre quelconque, premier ou composé, et p un 

 nomln'e premier. Si l'on prend pour k, l'entier immédiatement inférieur à 



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l'équation transformée 



{M ~kj))x- p(j — k^x)—i 



sei'a telle que le coefficient M — k^p surpassera p, et restera en même temps 

 inférieur à 2p. En supposant donc 



M — k^p — a, y ~k^x — y^, 



on aura à résoudre l'équation 



(2) ax — py^z=ii, 



dans laquelle a est un nombre premier ou composé, compris entre p et 

 2p, et p un nombre premier. 



Le binôme factoriel peut être immédiatement appliqué à la résolution 

 de l'équation (2). Pour cela nous décomposerons a en deux nombres p et 

 û — P — b, dont le second sera plus petit que p. En prenant p pour ex- 

 posant factoriel, et — 1 pour la différence de la progression, on aura en 

 vertu de la formule connue du binôme factoriel 



aP\-'—{p+bf-'=:pP\ -'+p.pP-'\-' . b' .pf-^\-' . b^^-' + . 



>(3) 



pCp-l) (p-^'-f-l) Lbi-i ' 



■T 1.2.3 b 'P ' 



