Sur remploi du binoim' factoricl. 289 



dans laquelle, d'après la netation de Kramp, 



pP\-' —p(p - — 2) 2 1 



pP-'\-^z:^p{p~ \){p-2) 2 



f-^^-'-p{p- \){p-2) 3 



pP -"\-^ — p{p—\){p-2)...^.[p~ 



Nous avons terminé la série (3) au terme qui a è'' ' ^ ru 1. 2. 3 . . . . ^ 

 pour facteur: les termes suivants, comme contenant 6^ + *'' b^~^^^~^ . . . 

 se réduisent à zéro, puisque b^"^^^~\ et en général la factorielle b"'\~\ 

 pour m > 6, est nulle. L'équation (3) divisée par donne 



.pip-l) (p-b-\-l, pP-f'l-Kb^'-^ 



1.2.3. . .b pP\~^ 



Or je dis 1°. Que le premier membre de cette équation est un nombre 

 entier, divisible par a. 2". Que chacun des termes factoriels du second 



membre, indépendamment des coefficients binomiaux p, ^ ^ ^\ , 



est également un entier. Pour démontrer la première assertion, mettons 

 les factorielles et pP^~^ sous leur forme ordinaire ; nous aurons 



a P\-i a(a — l){a — 2) (a — p + 1) a (a — 1) (a — 2) (a — p + 1) 



pP\-i- — 1.2.5 p — y 1.2.3 ip- i) 



Or, par la propriété connue das coefficients binomiaux, chacune des ex- 

 pressions 



l)(a-2)....(a-p + l) (a-4)(«-2) (a - p l) 



1.2.3 p 1.2.3 (p— 1) 



est entière; de plus, comme a est premier à p et que le numérateur 



a [a — Ij (a — p -t- 1) est divisible par le dénominateur 1 .2. 3 .... p, 



il faudra que l'un des facteurs du produit (a — 1) (a — 2) (a - p -|- 1 



soit divisible par p. Donc (a — 1) (a — 2) [a — p -\- i) est divisible 



