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Pmir traiter cette question avec toute la généralité possible, nous suhsitue- 

 roiis un nombre quelconque de lettres aux chillVes, dont l'ordre ascendant 

 |)o(M'ra être remplacé par l'ordre lexicographique. Cela admis, il s'agira de 

 déterminer le nombre des combinaisons de la V , 2'''', 3""' — classe, que 

 l'on -peut former avec m lettres prises n à n, en admettant les répétitions 

 de ces lettres sui\ant l'exigence des cas. Nous allons successivement ré- 

 soudi'e ce problème pour les combinaisons de la V , 'À''' et 3"' classe. 



Combiiiaisoiis de la 1^'^ classé. 



La question consiste à déterminer le nombre de combinaisons que 1 on 

 peut former avec ni lettres ditl'erentes, prises n à n., sans que l'ordre lexico- 

 graphique soit troul)le. Il est évident que le cas actuel nadmet pomt de 

 répétitions de la même lettre, et la (juestion se resoud par la formule 

 très simple 



, , , tn (m — l) — 2) . . (m — « -f- 1) L 



qui exprime le nombre de combinaisons que l'on peut former avec m lettres 

 prises n à n La condition que l'ordre lexicographique soit observe ne 

 cbange en rien ce résultat, car on pourra toujours^ dans une combinaison 

 quelconque, écrire les lettres dans tel ordre qu'on voudra. Ainsi les com- 

 binai.sons Jbda et 634^19, dans lesquelles l'ordre alpliabétique et l'ordre 

 de grandeur ne sont point observés, pourront être transformées dans les 

 suivantes: abdj et i^Wd, appartenant toutes deux à la 1" classe. 



Nous avons représente la somme (1) par la noiation „; le numéro I, 

 mis au dessus de N, indique la classe de la combinaison. De même, nous 

 désignerons par ,^ le nombre total des combinaisons de la 2 classe, 

 que l'on peut former avec m lettres prises n h n: N^^^ ,^ indiquera le même 

 nombre pour la 3""' classe, et ainsi de suite. 



