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Solution d'un problême sur les combinaisons. 301 

 ' Combinaisons de la classe. 



On a m lettres ou chiffres dift'érents que l'on combine n à n, et I on 

 suppose que dans chaque combinaison l'ordre alphabétique des lettres, ou 

 bien l'ordre ascendant des cbilFres soit interrompu une fois. Il s'agit de 

 déterminer le nombre total des combinaisons, y compris celles que l'on 

 obtient en répétant les lettres ou les chiffres. 



Pour résoudre cette question , il importe de distinguer entr'elles les 

 combinaisons: 1° sans répétition, comme par exemple bc.ade, 23.156, et 

 2° avec répétition, comme les suivantes: b.bcd, bce.abcd, 123. 2'!^, 

 O^i-S.SSS etc. De plus, dans les combinaisons avec répétition il faut avoir 

 égard séparément aux cas où la répétition porte sur une lettre, sur deux, 

 sur trois , et en général sur k lettres , et ne pas perdre de vue que dans 

 une combinaison de la 2* classe, le même lettre ne peut entrer plus de 

 deux fois. 



Soit I^,„„, suivant la convention établie plus haut^ le nombre total 

 des combinaisons de la 2* classe de m lettres différentes, combinées n à n, 

 y compris les combinaisons avec répétition. Représentons de plus par 

 le nombre des combinaisons de la 2'^'' classe, sans répétition, par celui 

 où une seule lettre est répétée deux fois, par P^, celui où deux lettres se 

 répètent, par P^ celui où trois lettres se trouvent répétées, etc. On aura 

 '(2) N„,^„=.P,-\-P,-\-P,+ P,-^..,.^P,. 



k étant égal à si n est pair, et à " ^ ^ quand n est impair. De cette 



manière la question se trouve ramenée à la détermination des quantités 



' ' ^7. > • • • • ^A- 

 Commençons par la recherche du nombre P^. Pour cela, considérons 

 l'une quelconque des combinaisons de la i'''' classe de m lettres différentes, 

 prises n à n, et dont le total, représenté par iV,„ „ , se détermine par la 



aiém yi Série. Se. math, et phjs. T III. 39 



