Solution d'un problême sur les combinaisons. 503 



composée de n lettres: ce'tte combinaison appartiendra à la S^*" classe, si la 

 première lettre de la tranche [n — c] est Inférieure dans l'ordre lexico- 

 graphique à la dei-nière lettre de la tranche [t»]. Ce sera, au contraire, 

 une combinaison de la V classe, si la dernière lettre de [f] précède, dans 

 l'ordre alphabétique, la première lettre de [n — v]. 11 est essentiel de dé- 

 terminer le nombre des cas, dans lesquels la combinaison [f] \n v\ ap- 

 partient à la 1'^'' classe, car, retranchant ce nombre de 2" - 2, on aura 

 évidemment la totalité des combinaisons de la 2*''' classe, sans répétition, 

 fournies par chacune des combinaisons de la V classe. Il est très facile 

 de déterminer ce nombre en observant qu il n y aura pour cbaque groupe 

 qu'un seul cas, où la combinaison [y] [n — i j appartiendra à la 1"' classe. 

 En effet, l'ensemble n des lettres qui composent cette combinaison étant 

 donnée, supposons les toutes rangées par ordre alphabétique; les c pre- 

 mières lettres de cette combinaison formeront la tranche \y'], et les n - v 

 restantes, la tranche [n — c]. Ces deux tranches seront donc complètement 

 déterminées de cette manière, et il n'y en aura pas d'autres de les former. 

 Or. comme le nombre d(> groupes est égal an 1 , ce nombre devra être 

 retranché de 2"- 2, ce qui donnera 2"- n — 1. D'ailleurs, chacune des 

 JS^i^^ combinaisons fournira 2" — n — 1 combinaisons de la 2'^'' classe, sans 

 répétition; le nombre total de ces dernières sera donc représenté par le 

 produit (2"- n — l) A'„, „ , et l'on aura 



(3) P,=z(2"-n- l;iV,,„. 



Pour déterminer le nombre , c. à d. celui des combinaisons de la 



2''''' classe qui ne contiennent qu'une seule lettie répétée deux fois, consi- 



1 



derons l'une quelconque des iV^„ combinaisons de la V classe, formée 

 avec les m lettres différentes, prises n — 1 à /t — 1. Si l'on décompose 

 les n — 1 lettres de la combinaison choisie en deux tranches de manière 

 que la seconde d'entr'elles contienne toujours la lettre que l'on veut répé- 

 ter, on obtiendra les n — 2 groupes que voici: 



