Solution (TuTi problême sur les combinaisons. 305 



[^^ + 1] [n— ^— 1] appartiendra toujours à la 2* classe. Au nombre 2" ^ — 2 

 de combinaisons que nous venons de trouver, il faut encore en joindre 2, 

 non comprises dans les précédentes; ces deux combinaisons s'obtiennent en 

 écrivant la lettre que l'on répète soit à la droite soit à la gauche de la 

 combinaison de la classe que l'on considère, et qui se compose de n — 1 

 lettres. Ces deux combinaisons nouvelles seront donc 



e [n — 1 ] et [n — 1 ] e , 

 « représentant la lettre que l'on doit répéter. On aura parconséquent en 

 tout 2"~^ — 2 -|- 2 rr: 2" ~ combinaisons de la seconde classe en ne répé- 

 tant que l une des n — 1 lettres. En répétant chacune de ces n 1 lettres 

 différentes à son tour, on obtiendra évidemment [n — 1)2""^ combinaisons 

 de la 2 classe, provenant de chacune des iV,^,,, _i combinaisons différentes 

 de la V classe. 



Le nombre total que nous avons représenté par Pj , sera donc donné 

 par la formule 



W P, = (n-l)2"-\iV„,„_,. 



Passons maintenant à la détermination de P^, c. à. d. du nombre des 

 combinaisons de la 2'''' classe, qui contiennent deux lettres répétées. Pour 

 cela considérons l'une quelconque des combinaisons de la V classe, que 

 l'on obtient en combinant m lettres n — 2 à n — 2. La totalité des com- 

 binaisons de cette espèce sera représentée par iV^„^„_2- Si Ion décompose 

 les n — 2 lettres en couples, composés de deux tranches, en ayant soin de 

 faire entrer dans la seconde les deux lettres que l'on veut répéter, ou ob- 

 tiendra les n — 3 groupes suivants : 



V tranche: 2'^* tranche: 



1 lettre n — 3 lettres 



2 lettres n — k lettres 



3 lettres n — 5 lettres 



