Solution d'un problême sur les combinaisons. 311 



Il est évident qu'en additionnant les quantités (13j, {^^), 15) . . . . (16), on 

 obtiendra la valeur du nombre cherché r. Donc 



r-n(2"-^-2)+ (2"-^-2)4- "^"7'^'^7^^ (2"-^-2)+. . . ^ (2^-2) 



— V"-"^ + H TaTs ^ ^ 1 — 172^ -2 ; 



__ 2 -4- -4- »(^^-^) I 1 2i^V 



V ' 1.2 ~ 1.2.3 ' ~ 1.2 / 



Or, il est facile de voir que l'on a 



^ 2"-«4_îii^i).2"-^-f 4.^i^).2*=:(2+ l)"-2''— 11.2- 1 



= 3"- 2"— 2n — 1 



et 



2 („ ^ + "J^^ = 2 ((1 + i)"- 2 - „)=2(2"- n - 2). 



Par conséquent 



, (17) r=:3" — 2"— 2n — 1 — 2(2"— n — 2)=:3"— 3.2" + 3. 



Le nombre s qui représente combien il y a de combinaisons de la 

 V classe sur le nombre total r, se détermine très simplement. En effet, 

 considérons une combinaison de n lettres, appartenant à la classe, c. à d. 

 une combinaison telle, que les lettres y soient rangées par ordre alphabé- 

 tique. Soit, par exemple, la combinaison acdefh, composée de 6 lettres; 

 on pourra la partager en trois tranches des 10 manières suivantes: 

 a.c.defh a.cd.efh a.cde.fh a.edef.h 

 ac.d.efh a c.d e.fh ac.def.h 



* 



acd.e.f'h acd.ef.h 

 a cde.J.h 



On aura donc 10 pour n~6. Il est très facile de généraliser ce 

 résultat. Si I on prend d'abord la première lettre à gauche pour première 

 tranche, il restera n — 1 lettres à la droite, qui donneront lieu à n — 2 

 combinaisons séparant deux lettres à gauche, il restera n — 2 lettres à la 



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