Solution d'un problème sur les combinaisons. 313 



Passons maintenant à la détermination de la quantité plus compliquée Q, 

 qui désigne le total des combinaisons de la S"*' classe, que l'on peut former 

 avec m lettres prises n à n, en admettant toutes les répétitions possibles 

 de lettres, compatibles avec l'espèce de combinaisons que l'on considère. 



Désignons par as, y, z... les lettres qui entrent sans répétition dans 

 la combinaison, et soit i leur nombre; par a, (3, y... celles qui y entrent 

 deux fois, et soit k leiir nombre; enfin, par o, h, c... celles qui y en- 

 trent trois fois, et soit l leur nombre. On aura à considérer l'agrégat 



(21) a;j3...aW^--o'^'c\... 

 avec la* condition 



(22) i-f 2Â:4-3/=:n. 



Et d'abord observons que l'agrégat (21) donne lieu à deux cas, qu'il est 

 nécessaire de distinguer entr'eux. Le premier se rapporte à la supposition 

 que cet agrégat contient au moins une des lettres a, b, c. . . du nombre 

 de celles, qui se répètent trois fois. Dans cette hypothèse la valeur mini- 

 mum de / sera 1, et comme chacune des trois tranches contiendra la même 

 lettre, la combinaison sera nécessairement de la 3'"^ classe. Le second cas 

 se rapporte à la supposition de l~o, et l'agrégat (21) se réduit alors au 

 suivant 



xy z. . . . . 



qui donne lieu et à des combinaisons de la 3*"^ classe, et évidemment aussi 

 à des combinaisons de la 2*^^ classe. Si l'on désigne donc par Q' et Q" la 

 totalité des combinaisons de la 3'"^ classe, se rapportant respectivement au 

 i''' et au 2^ cas, on aura < 



(23) Q=:Q'4-Q". 



Pour déterminer Q' faisons d'abord abstraction des lettres a, ^, y. , . . 

 qui entrent deux fois dans l'agrégat (21), et voyons de combien de ma- 

 nières diflFérentes ce nouvel agrégat a; j z. . . . . peut être décom- 

 posé en trois tranches, dont la juxta-position produise une combinaison 



