Solution d'un problême sur les combinaisons. 317 



le nombre des lettres non-répctées soit i, celui des lettres l'épétées deux 

 fois, soit k, et celui des lettres répétées trois fois, soit /, avec la condition 

 exprimée par l'égalité i-\-2,k-\-Zl—n. Pour cela on raisonnera de la 

 jiianière suivante: le nombre des combinaisons différentes quç l'on peut 

 obtenir en choisissant sur m lettres les i lettres x, y, z. . . . sera 



m{m — \)....{in — i-{'\) 



1.2.3 i 



cela posé, il restera, pour la formation de chaque nouvelle combinaison, 

 m — i lettres, parmi lesquelles il en faudra choisir k afin de faire entx'er 

 a*/5^y^.... dans l'agrégat. Cela donnera lieu à 



{m — ï){m — i — \)... (m— — A-fl) i 



1.2.3 -k - 



combinaisons. 11 ne nous restera plus que m — i — k lettres, qui devront 

 être combinées / à / pour introduire a^b^c^.... dans l'agrégat. Nous au- 

 rons donc de nouveau le nombre 



(^fn—i — k){m — i — k — \).. . {m — i — k - i 



1.2.5 / — ^^m-i-K.l 



de combinaisons. Le produit des trois quantités 



1 1 1 



^111, i • ^m — i,k - ^/n — i — kj — 



m (m — 1) (771 — 2) {m~i— k — l-\-i) 



1 2.3...i.l.2.3. ..A.1.2.5.../ 



représentera évidemment le nombre des complexions différentes, de la forme 

 xy z. . . .a^b^c^ . . . que l'on pourra former avec m lettres, i, k, l 



étant déterminés d'avance. Si l'on multiplie la dernière expression par 3''^'^, 

 nombre trouvé plus haut;, on aura la totalité des combinaisons de la 3"*^ 

 classe, qui répondent à un système de valeurs de i, k, l déterminés. Ce 

 nombre total sera donc égal à 



m{m— V) {m —j—k — l-irX) ;_^f, ^ 



1.2.3 ..i. 1.2. 5. ../t. 1.2. 3.../* *' 

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