Solution d'un problème sur les combinaisons. 319 



Pour résoudre complètement le problême il nous reste encore à dé- 

 terminer la valeur de Q", c'est-à-dire du nombre des combinaisons de la 

 3""" classe, contenant des lettres répétées deux fois, et n'en contenant point de 

 répétées trois fois. Soit 



uvw . . . . /S'^y'^ . . . . 

 l'agrégat donné. Supposons que le nombre des lettres ii, v, ly. . . . est j, 

 et celui des lettres a, ^, y . . . . , li\ on aura 

 (27) j^^h-n. 



Pour avoir la totalité des combinaisons que l'on peut former avec 

 1 agrégat déterminé uvw...a^^3'^y'^... en le partageant en trois tranches, 

 considérons d'abord les lettres répétées a'^/5^y^. . . . Ces lettres peuvent 

 être décomposées, en trois tranches, de 3^ — 3 manières différentes, en 

 ayant égard aux places que les tranches occupent; de plus, on aura les 

 trois combinaisons 



o a ^ y . . . . a /3 y. . . . 



a (3 y ... . o a (j y . . . . 



a P y . . . . a 13 y ... , o 



dont nous tiendrons compte plus tard. Si nous multiplions actuellement 

 la quantité 3^* — 3 par le nombre 3'^ qui représente la totalité des combi- 

 naisons que l'on obtient avec les j lettres u, v, w . . . distribuées en trois 

 portions, dont une et deux peuvent ne point contenir ces lettres, nous 

 obtiendrons un ensemble de combinaisons, parmi lesquelles se trouveront 

 nécessairement toutes les combinaisons de la 3"'^ classe, qui contiennent 

 dans chacune de leurs tranches au moins l'une des lettres «, j3 , y.... 

 Pour avoir les combinaisons où ces dernières lettres ne se trouvent pas 

 dans toutes les tranches, il faudra introduire les lettres u, v, w . . . . dans 

 les trois combinaisons rapportées plus haut, nommément 



o a (3 y ... . a 13 y ... . 



a ^ y . . . . o a ^ y . . . . 



u 13 y ... . a ,3 y ... . o, 



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