Solution d'un problême sur les combinaisons. 321 



appartenant à la 2^'^ classe. Mais comme chacune de ces combinaisons, 

 composées de deux tranches^ pourra se partager en trois tranches de n — 2 

 manières différentes, et que toutes ces manières se trouveront comprises 

 dans l'expression (28), le nombre cherché sera égal à {n — 2)2''. En effet, 

 soit la combinaison de la 2'^*^ classe b c ef.a c d e g , composée de 9 lettres, 

 dont deux c et e se répètent. En introduisant la troisième tranche, on 

 pourra présenter cette combinaison successivement sous les 7 formes sui- 

 vantes : 



b.cef.acdeg bc.ef.acdeg b c e ./.a c de g 

 bcef.a.cdcg bcef.ac.de g b c ef.acd.e g bcej.acde.g, 

 qui toutes sont contenues dans l'expression (28). En retranchant donc le 

 nombre [n — 2) 2,^ de l'expression (28), on obtiendra la totalité des combi- 

 naisons de la 3"'^ classe, résultant de l'agrégat u v w . . , iS'^y'^ . . . . cette 

 différence sera: 



(29) 3^+''— 3 . 2'— [n — 2) 2^— 3'+'' — (n -\- 1) 2K 



Or, le nombre des complexions de la forme u v w . . . jj"^ y"^ . . . . que l'on 

 peut obtenir avec m lettres différentes est égal à 



]V ]V ?n(m—i) {fn ^ {m —J) (m —J—i) (m —j — h-^j) 



m.j-^^m-j.h 1.2.5...J ' 1.2. 5... A 



m {m — \)... {m — j — h-\-\) ^ 



— 1.2.5. .. y. 1 2.3.../Î ' 



donc, si nous multiplions ce nombre par l'expression (29), nous obtiendrons 

 la totalité de l'espèce de combinaisons que nous considérons pour un nonibre 

 déterminé n de lettres répétées deux fois. De plus, en introduisant dans 

 ce produit la valeur — 2 A, donnée par l'équation (27), on aura la 



formule 



1.2.3.. .(«-2A). 1.2.3. ..A V )' 

 Si l'on somme cette expression depuis hzz.i jusqu'à la valeur maximum 



