SIO OSTROGRADSKY, 



et l'on doit à ce célèbre mathématicien une autre formule^) aussi 

 propre à remplir le même but que celle d'Euler. Gependent les fonnu- 

 les dont nous parlons étant représentées par des séries infinies,, il restait à 

 désirer que l'on eût les expressions des restes que l'on néglige quand on 

 s'arrête à des termes quelconques de ces mêmes séries, et il faudrait que 

 les expressions dont il s'agit pussent fournir avec facilité les limites des 

 erreurs commises. Le célèbre auteur de la nouvelle théorie de l'action 

 capillaire, en se servant des séries de F ourler, est parvenu à l'expression 

 du reste relatif à la formule d'Euler*). Mais il faut avouer que la consi- 

 dération des séries des quantités trigonométriques est indirecte dans cette 

 matière. Aussi M. Poisson n'a-t-il pas présenté l'expression du reste 

 sous une forme aussi simple qu'on pouvait le désirer. Par cette raison nous 

 avons cru qu'on pouvait encore dire quelques mots sur les quadratures dé- 

 finies et nous avons écrit le mémoire qui suit. On y trouvera aussi la valeur 

 du reste relatif à la formule de Le gendre. Ce dernier reste, que nous 

 sachions, n'a pas encore été donné sous aucune forme. 



L Nous nous proposons de trouver, avec une approximation aussi 

 grande que l'on veut, l'intégrale définie 



jf(x)dx 



a 



f{x) désignant une fonction continue et finie pour toutes les valeurs de 

 la variable x, comprises entre deux nombres réels a et h. On suppose 

 è > a. 



Désignons par n un nombre entier qui sera déterminé par le degré 

 d'approximation où l'on voudra s'arrêter, et faisons h — a — rua, av=:a-i-iwf 

 û„ sera visiblement autant que h. En supposant, pour abréger, yy(a;) if £c~ 

 F{x), nous aurons 



') Traité des fonctions elliptiques T. L p. 572 et suiv. Voir aussi : Exercices de calcul intégral 

 T. I. p. 308 et suiv. 



4) Mémoire sur le calcul Qumérique des intégrales définies. 



