Sur les Quadratures définies, 315 



pouvant être zéro. Dans ce môme cas, la série pour 2 n 1 aura le plus pe- 

 tit nombre de cliangemcns qu'elle en puisse avoir, et ce nombre sera aussi 

 m-|-l. Dans toute autre hypothèse, elle aura plus de changcmens, et la série 

 pour z 0 en aura moins. Or comme cette dernière ne peut jamais con- 

 tenir moins de changemens que la série relative à zzzzl, il s'ensuit que les 

 quantités A^, A^, A^, A^, — seront négatives, et A^, A^, A^, — positives, 

 aucune ne pouvant devenir zéi-o. Puis, comme m-\- i représente le nombre 

 de changemens pour z n; 0 et pour zzn i , la fonction n'aura point 

 de racines entre z~0 et z — 1 , et partant elle conservera, entre ces limi- 

 tes im môme signe qui sera -j- pour m pair, et — pour m impair. On 



peut ajouter que devient, entre les limites 2 =: 0 et z— 1, un maxi- 

 mum quand m est pair, et un minimum quand m est impair. 



111. La fonction V^—i ne changeant pas de signe entre les limites 

 zmO et zrz:l, nous aurons 



{Oi_i,(ii) désigne, comme dons l'Analyse des équations déterminées, 

 une moyenne entre a-_^ et a-. Or 



f^y ^^-1 v ^'ii-Z , ^m-S . ui— i 1__ — — ^ 



"'-1 2.3 2.3.4.5 "^23.4.5.6.1"^*""^ 2.3.4. ..27«-l"^22.3/i...2w 2.3.4...2nî+l ' 



donc la formule [F) deviendra 

 (2) jF{a._,)-co p£=ihh^)] -f.4,a>V/>,_ J + ^,toV/>,_ J + ^,o)«4/>,.J-l- • • • 



En intégrant avec le signe 2 et en remplaçant F(b) — F{a) par ff{^)dx, 

 on trouve 



ry(x)fcco[^/(a)+^/(6)+l/(û,)]4-J,a.T/ï^)/'(^ 



ia i 



n 



n 



ou bien, à cause de <^*'"(o,_,,û,) n/'""(a,6) 



