318 OSTROGRADSKY, 



restes seraient égaux entre eux. Dans ce cas singulier, il convient de s'en 

 tenir, pour plus de simplicité, au premier reste 



ou 



" ï^/ ('"''^) 



OU encore 



et il faudrait prendre m assez petit pour que les expressions précédentes, 

 qui sont égales entre elles, puissent être négligées. 



Le gendre avait le premier remarqué*) le cas singulier où toutes les 

 dérivées de l'ordre impair disparaissent aux limites de l'intégrale. Mais il 

 l'a regardé comme une espèce de paradoxe difficile à expliquer. M. Poisson 

 en a donné une explication^), qui revient à ce qu'on vient de remarquer, 

 c'est-à-dire que, quand toutes les dérivées de l'ordre impair disparaissent aux 

 limites, ou plus généralement, quand f'{b)—f\a),f'''{b)~f'''{a),f'^[b)'^f^{a) 

 etc., les restes R ne diminuent point en mesure qu'on prend plus de termes 

 pour l'e présenter la valeur de j f[x)dx. Cependant, les valeurs des restes R 

 se présentent sous des formes très différentes chez M. Poisson et chez nous. 



Il ne serait peut-être pas inutile de démontrer directement la relation 

 (10) qui existe entre deux restes successifs. Pour cela, je considère les 

 équations identiques. 



En les intégrant depuis z~0 jusqu'à z~± et en faisant attention à 

 ce que F„ et s'évanouissent aux limites, nous aurons 



5) Traité des fonctions elliptiques. Tome II. p. 518. 



6) Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies. Art. 8. 



