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La caractéristique J marque les différences finies, et les coëfficiens A^, 

 A^, A^, ^4... sont les mêmes que ci- dessus. Or on sait que 



^cos.- 



- 1 = Ay-A^oi'^Ay-Ay^ 



et si l'on remplace la série J^w^ — ^^oZ-j-^jW® — J^w^-j- • • par 



sin.^ 



on ne tardera pas de reconnaître que la formule de Legendre revient à 

 mettre l'intégrale Jf\x)co%.dx sous la forme f{b)cos.b—/{a)s\nM+j /(x)&\n.xdx 

 et d'appliquer la formule (3) ou (4) à l'intégrale Jf{x)sin.xdx. Mais, en se 

 prenant de la manière que nous indiquons, on aura l'avantage d'une plus 

 grande simplicité dans le calcul et, en même temps, on saura les limites 

 des erreurs commises. La même observation s'applique aussi à l'intégrale 

 ff'{x)sïn.xdx. 



-'a b 



VI. On sait que Jf{x)dx — [b — a)f[a, b). On peut ajouter que 



J\a, b) est une moyenne arithmétique entre toutes les valeurs que reçoit la 

 fonction f{x) depuis x—a jusqu'à x rz, b. Intercalons, entre a et b, n — 1 

 valeurs c^, a^, a^...%_i, qui vont en croissant, nous aurons exactement 



les fonctions f{(i,ci^),f{a^a^,f{a^a^ Ji^-v^) désignent actuellement, 



non plus les moyennes quelconques, mais les moyennes arithmétiques entre 

 les valeurs c^e f[x) reçoit depuis x — a jusqu'à x'^a^, depuis x~a^ jusqu'à 

 x'zz.a^, depuis x-:zia^ jusqu'à x~a^ ainsi de suite. En supposant — a 

 — — — — z= • • • rz b — a„_j — w, et en désignant par a+^co, Oj-t-Oja», 

 ûa-l-Oa^,. . .o^_j4-0„_jW les valeurs de x auxquelles répondent respective- 

 ment les moyennes arithmétiques de f{x) entre a et Gj, et a^, et a^.., 

 et b: la formule (H) deviendra 

 Jf{x)dx — c[/(a+ea;)-f/(rt, + a,w)+/K4-a,w)H h/('^„-, + 0„_,w] 



