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on reconnaîtra, par la règle du double signe, que la série relative à z — 0 

 ne peut jamais contenir plus de m changemens, et pour que le nombre m 

 de changemens puisse avoir lieu, il faut que les quantités B^, B^, B^, B, ... 



soient positives, et B^, B^, Bg soient négatives; aucune n'étant zéro. 



Par la même règle on s'assurera également que la série relative a z i 

 ne peut pas contenir moins de m changemens et ce plus petit nombre m 

 de changemens aura lieu quand les quantités B^—^, B^+C^, B^+C^, jB,+ 

 Cg. . . seront négatives et B^+C^, B^-\~C^, Bg-fC^ . . .seront positives, aucune 

 n'étant zéro. Or, comme la série relative à z m 1 ne peut pas contenir 

 ])lus de changemens que celle relative à z ~ 0, il s'en suit 1°, que -les 

 quantités B^, Bg, B^, B, ...B^+C^, B^+Cj, Bg+C^, Bg + C, seront positives, 



et Bj, B^, Bg, Bg...Bj— |, B^+C^, B^ + C^, B, + Cg seront négatives; 



2", que la fonction X^^^ n'a pas de racines entre les limites z - 0 et z:::r i, 

 et partant, qu'elle conserve entre ces limites un même signe. Ce signe sera 

 — quand m est pair, et -|- quand m est impair. 



La fonction X^^_^ ne changeant pas de signe entre les limites z~0 

 et z zzz i, nous aurons 



en mettant, pour X^_^, sa valeur en z et en intégrant, on trouvera 



fv ^m-l 1 ^m-i I _j ^ 1 p 



Jo " 2 3 ' 2.3.'i.5~ ~ 2.3.4.. 2.3.4. ..2w+l — 



aussi l'équation (12) deviendra 



iff{x)dx = +0+ B.(0V'(^)-/'(«)]+B<i) V'"(^) -m 



(13)^ 4- B,Qy[f{b)-r{a)] + .... '+B ,„_0 '"-\p"' -^ [b) a)] 

 ou bien 



