Nouveaux théorèmes relatifs etc. 455 



La suite des valeurs n^, n^, . . . est: n^^zzzl, n^zzzi, n^ — Q, n^ — 0, 

 n^mO; ici l'opération se termine, car il y a m — 1 — 5 chiffres consé- 

 cutifs d'égaux à zéro, et la dernière somme se réduit à 1. On aura donc 

 a~ 6, et en effet 



3'z::243=:4T.5-f-8. 

 Pour dernière application, supposons qu'il s'agisse de résoudre la con- 

 gruence très simple 



2*1^3 (mod. 7), 



qui revient à l'équation 



Le nombre 1, dans l'Arithmétique binaire, s'exprime par 111, et 3 parti; 

 si l'on suppose donc K~ ti^n^n^n^, on obtiendra 





"lO «3 





'h 





"5 



"4 



'h 

















1 



1 



1 



"il 



'^10 "a 



'h 





'h 



n. 



"4 '»3 









% "a 



n, 





«5 



"4 





'^l 



1 



% 







% 



"4 



«5 



"2 "1 



1 





1 



1* 1* 



1* 





1* 



1* 



1* 



1 







0 



0 



0 



0 



0 



0 0 



0 



0. 



La suite des valeurs des chiffres cherchés sera: n^ — i, n, — 1, n^~0 

 1, — 1> «6 — 0, n, ml, — 1, /i, m 0 etc. II est évident que cette 

 série est périodique, et que par conséquent la condition d'avoir m — 1 — 3 

 — i~2 termes consécutifs nuls, ne sera jamais satisfaite ; de là on con- 

 clura avec certitude que la congruence 2"^^ 3 (mod. 1) est impossible. 



Sans nous arrêter davantage à ces sortes de recherches, fondées sur 

 l'emploi de dififérentes échelles arithmétiques, recherches, qui quoique très 

 simples, pourraient conduire à des résultats curieux, nous allons passer à 

 l'application de la méthode, qui vient d'être exposée, à la question principale 

 de notre Mémoire. 



Mém. yi. Sér. Se. math., phys. et nat. T. IF. ire part, 59 



