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S 5. Soit N le nombre que l'on Veut soumettre à l'examen dans le 

 but de découvrir s'il est premier ou non. Admettons en premier lieu que le 

 nombre N est ou premier, ou égal au produit de deux nombres premiers, 

 ensorte que dans ce dernier cas l'on ait IS — pp, p et p' désignant des 

 nombres premiers. Cherchons actuellement le caractère, auquel on pui&se 

 reconnaître si TV est en effet premier, ou bien s'il est de la forme pp'. 



Supposons d'abord que Ton ait résolu, d'après la méthode exposée ci- 

 dessus, la congruence 



2" = i (mod. N); 



a sera un nombre déterminé. Or, en vertu du théorème de Fermât, 

 si N est premier, a sera diviseur de iV — 1 ; donc, dans ce cas, N— 1 ~az, 

 z étant un entier. Mais si iV^ ~ pp', alors a sera, comme on sait, diviseur 

 de (f {Nj—{p — l)(p' — i), et par conséquent l'on aura (p — 1) {p'—i) — ak, 

 k étant un entier. De là nous pouvons conclure que si le nombre a n'est 

 pas diviseur de N—i, le nombre N ne sera pas un nombre pre- 

 mier. Ainsi, par exemple, le nombre 91 rr: T . 13 n'est pas premier, car, 

 comme nous l'avons vu dans le S 2, a~ 12, et 12 n'est pas diviseur de 

 91 — 1 = 90. 



Si, dans ce même exemple, on fait usage de l'Ai'ithmétique trinaire, 

 on trouve pour l'exposant a de la congruence. 



3" = 1 (mod. 91) 



la valeur a m: 6, et comme 6 divise 90, il arrive qu'on ne peut rien con- 

 clure -sur la nature du nombre N. 



Il peut donc se faire, comme on le voit par ce qui précède, que 

 quoique N «oit égal au produit pp', a divise cependant la différence 



lzz.pp' — 1. Par conséquent il y aurait altirs de l'incertitude sur la 

 nature du nombre N. Examinons ce ca« aVec soin. 



5 6, Dans l'hypothèse que nous venons d'admettre on aura en même 

 temps: ' 



