Nouveaux théorèmes relatifs etc. 459 



souviendra que Eu 1er a trouvé cette assertion inexacte, et a fait la remar- 

 que que le nombre en question se décompose en deux facteurs : 64 1 et 

 6100411 *). 



En résolvant la congruence 



2" = 1 (mod. 2^'+ 1) 



par la méthode exposée dans le S 1, on trouve facilement a— 64. Or, le 

 s 



nombre proposé 2^ -j- 1, diminué de l'unité, est évidemment divisible par 

 a m 64 ~ 2^ ; il y a donc de l'incertitude sur la nature de ce nombre : 

 il est ou premier, ou bien, en le supposant égal au produit de deux fac- 

 teurs seulement^ chacun de ces derniers devra être nécessairement de la forme 



5 



64 e -f- Si nous admettons la seconde hypothèse, les diviseurs de 2* -j- 1 

 — 4294961291 à essayer, seront: 



65*, 129*, 195, 251, 321*, 385*, 449, 513*, 511, 641, 105*, 169, 



Les nombres, marqués d'une astérique, comme composés, devront être 

 rejetés. Il ne restera à essayer que les suivants : 



193, 251, 449, 511, 641, 169, 



Le cinquième de ces nombres réussit, et l'on trouve 



641 = 6100411, 



àon<P 



2*'+ 1 — 641.6100411. 

 Le second facteur 6100411 est également de la forme 04e -|~ ^> I on ^ 



6100411 — 64.104694 -f 1. 



§ 1. Considérons actuellement le cas, où le nombre N est ou pre- 

 mier, ou égal au produit de deux nombres premiers, élevés chacun à une 

 certaine puissance. On aura dans cette dernière hypothèse 



*) Observationes de theoremate quodam Fermatiano, alisque ad numéros primos spectantibus. 

 Auctore Leonh, Eulero. (Comment, Acad. Scient. Imper. Petropolitanae j tome VI., années 

 1123 et 1-733, pag- 113.) 



