Nouveaux théorèmes relatifs elc, 465 



P{P - 1) 4- pXp- 1) + P"(P - 1) = 0 (.nod. a) 

 p{p"- 1) + p'{p - 1) + p"(p' - 1) = 0 (mod. a), 



qui, en vertu des équations (8), deviendront : 



Ip {p,P ) (P'>P") + ¥{P,P") ip'^P") r"+lp\p.p) {p,p") ae = 0 (mod. a) 

 Ip iP>P") (P'>P") 7^" + V(j>>P ) {P> P") 4- ¥\P^P') (P'P") (ie\=0{mod. a). 

 En remplaçant a par sa valetir, et passant des congruences aux équations, 

 l'on aura : 



C l£L. + 111. 4- llîl. — a(ÎY E 



^ iP,p') ^ {P'P") ^ ip,p") ~" ''''^•^1' 

 £J et désignant des entiers. Or, les dénominateurs (jp,p), {p, p"), {p , p") 

 étant premiers entr'eux, il faudra nécessairement que chacune des fractions 

 qui composent le premier membre de ces équations se réduise à un entier. 

 Voyons quelle conséquence on peut tirer de là; considérons, par exemple, 



la première de ces fraction», nommément ~—4r- H est évident en premier 

 ^ {l>,p ) *^ 



lieu que p n'a aucun facteur commun avec (p^p"), puisque (p,p") ne peut 

 surpasser [p — l), et que p est premier. De plus, /3 ne peut avoir aucun 

 facteur commun avec (p,p"), puisque /5 représente un diviseur de p' — 1, 

 qui est premier avec {p,p^). Donc c'est e' qui est divisible par {p,p"). 

 On démontrera de même que e" est divisible par {p,p') et e par {p',p")- 

 Ainsi, en représentant par k^, k^, k^ trois entiers], on obtiendra les for- 

 mules : 



r p = / {p, p') (p, p) {p, p") ak^ -f-i 

 (10) I P = i{P>P) (P,P") {p\p")(ik,-{-l 



i p'— Hp>p') {p>p") (p>p") -t- 



qui donnent la forme des facteurs du nombre N dans le ca» que nou» 

 considéron». 



Mém. FI. Sér. S math., phys. et nat^ T. IV. ire part. 59 



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