Nouveaux théorèmes relatifs etc. 465 



Mais il est facile de voir que ces équations ne peuvent avoir lieu: car, 

 en vertu des formules (10) elles donneraient d'abord : 



[i{p,p') (p, p") ip', p") yk, -f i]p' = Kp> p) (p^p") {p, p") «£^.4-1 

 V[p>p')ip>p") ip'^p") ccK + - i(P'P') iP'P") {p'>p")^E,-\-i 

 U{p>p)(.p,p")[p>p")(iK+^]p = iiP>p){p,p"){p,p")rE,^'U 



*t par suite l'on en déduirait les congruences 



p' -1 =[Omod. l[p>p){p,p"){p',p")^ 

 p"-i =[Omod. l{p,p')(p,p")ip',p'')] 

 p -i=[OmodJ{p,p')(p,p")(p\p")], 



qui sont évidemment impossibles, à moins que l'on n'ait à la fois (p,p) — 1, 

 (jt^p")-=zi, (p,p") — i, ar=i, Y—^} et par conséquent azzzl, 



ce qui serait un cas très particulier. Donc, la forme trouvée pour les pro- 

 duits p'p", pp", pp doit être rejetée. 



Sans nous arrêter aux autres hypothèses que l'on aurait pu faire pour 

 satisfaire à la condition que les fractions (il) se réduisent à des entiers, 

 nous allons présenter deux observations qui ont pour but de simplifier 

 dans beaucoup de cas les règles que nous avons exposées dans notre mémoire. 

 La première observation se rapporte à la détermination de l'exposant , re- 

 présenté par a dans ce mémoire , et la seconde , à l'emploi simultané de 

 différentes échelles arithmétiques. 



10. La règle générale exposée dans le %. t. pour la détermination de 

 l'exposant a dans la congruence 



2^=1 (mod.iV) 



conduit à des calculs, qui, quoique toujours très simples, deviennent sou- 

 vent impraticables par leur longueur. Cette prolixité peut être quelque- 

 fois évitée par l'emploi d'une méthode particulière, que nous allons faire con- 

 nafee en l'appliquant de suite à deux exemples numériques. Gonsidéron», 



