Nouveaux théorèmes relatifs etc. 467 



que a sera plus grand que 7; on pourra donc poser ~\- fi, et l'équa- 



tion précédente se réduira à ! 



2^2^^ — IZZ (2' — 39) 



ou bien à 



2«(/î— 2^^) — 39 Km — 1. 



Voilà une équation indéterminée du premier degré, dont les inconnues sont 

 K — 2'* et K. En la résolvant par la méthode ordinaire, l'on obtient 



K—2^'— 2Z-\-59Z 

 K=151+ 2'Z, 



Z étant un entier. De ces deux équations l'on tire 



2^*— 128 4-217 Z— 2' + 2n Z/ 

 et puisque ji* doit être un minimum, on devra prendre Z~0, ce qui 

 donne On aura par conséquent a~15, et en effet 



2** — 1 — 32167 —217.151 = 0 (mod. 217). 

 Cette valeur de l'exposant a fait voir d'abord 5.) que le nombre 

 217 n'est pas premier, parce que 15 n'est pas diviseur de 217 — In: 216; 

 il sera donc un nombre composé. De plus, si 217 est égal au produit de 

 plusieurs nombres premiers pp'p" ... , nous pouvons conclure que parmi 

 les différences p — 1, p' — 1, p" — 1, .... il y en aui'a nécessairement de 

 divisibles par 3 et par 5, et, dans certains cas, par le produit de ces nom- 

 bres, c est- à -dire par 15. Ceci devient évident si l'on prend en considé- 

 ration la formule 



(p — 1) (p' — 1) (p" — 1) . . . — 15 A — 3 . 5 

 qui doit avoir lieu de rigueur. 



Ce qui vient d'être dit, conduit évidemment à la conclusion, que parmi 

 les facteurs p, p', p" . . . du nombre 217 , il y en aura nécessairement de 

 chacune des deux formes 3e -|- 1 et 5e -]- 1 , ou que l'un de ces facteurs 

 sera à la fois de ces deux formes, c'est-à-dire égal à 15e -f 1. D'ailleurs, 



