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discours , nous considérerons toujours des nombres entiers , mais , nous le 

 répétons , les démonstrations dont on va faire usage , n'en subsisteront pas 

 moins pour des fonctions rationnelles quelconques. 



§1. A et B étant des nombres entiers, non- carrés, la 

 somme l/j •+ V'B ne peut jamais être rationnelle. 

 En effet, soit . 



R étant rationnel; on aura 



d'où l'on conclura que le produit AB est un carré. Par conséquent il 

 faudra supposer 



^zz/a* et B=.l^\ 

 et l'équation précédente donnera 



/«» + 2/a/3 -f = /(a -|- /S)* = R\ 

 Donc Ij et par suite A et B, doivent être des carrés, ce qui est contre la 

 supposition, car alors l'irrationalité n'aurait plus lieu. 



Remarque. De l'impossibilité de l'équation 



yA + VB = R, 

 on conclut immédiatement l'impossibilité de la suivante: 



aVl' -\-byïï — R, 

 a, h, A' , B' étant des entiers arbitraires. En effet , pour le faire voir il 

 n°y a qu'à poser dans la première équation ^~ûM' et B^b^B'. Cette 

 remarque se rapporte à tous les théorèmes que nous démontrerons dans 

 la suite du Mémoire. Partout on pourra faire précéder les radicaux de 

 coëfficiens numériques entiers , et la proposition n'en aura pas moins lieu. 

 On peut aussi observer qu'à la somme des radicaux on pourra , dans tous 

 les cas, substituer leurs différences. 



