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Donc A eX B devront aussi être des carrés et C un cube, ce qui établit 

 le théorème en question. 



§ 6. L'impossibilité de l'équation (2) se démontre avec la même sim- 

 plicité. En élevant au cube les deux membres de cette équation, on aura 

 d'abord _ s , 



zVab 



VC 



^ - rVc, 



VC 



et puis en faisant 

 B. étant rationnel, 



Comme cette formule rentre dans celle du § 3 , il faudra que C soit un 

 carré et le produit AB un cube: en vertu de la première condition l'on 

 posera Cr:z}'^, et l'équation proposée deviendra 



VÂ-^ pW— y. 



Or, comme il sera démontré plus tard (§ 8.) que cette équation est impos- 

 sible, la même conclusion subsistera pour la formule ^ 



Va + Vb-Vc. 



§ 1. L'équation (3), élevée au cube, donne 



^VâBC =iC — A — B. 

 11 faut donc que le produit ABC soit un cube. Si l'on suppose les trois 

 nombres A, B, C premiers entr'eux , il faudra , pour satisfaire k cette con- 

 dition, que chacun de ces nombres soit un cube séparément, et le théorème 

 sera démontré. Mais s'il arrivait que deux de ces nombres, A et B par 

 exemple, fussent premiers entr'eux, sans que C le fût avec le produit AB, 

 aloi's, pour que ABC fût un cube, il faudrait supposer 



A—pfa^, B-p'q'^fi^, C—pY^qq'/, 

 p, q, a n'ayant aucun facteur commun avec p , q , Gela posé, l'équation 



ZVIBC^C — A — B 



