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En suivant la même marche, on tirera de l'équation [l) la formule 



(8) R"' =:5pqayR'-^pq{qa"'' pf*), 



dans la quelle 



R'z=ipqR", a'-pqa^ f :=i pqfï" , 



et par conséquent 



R-{pqfK', a=:{pqya\ ft=: {pq)T- 

 Si l'on fait subir à l'équation (8) la transformation^ employée tout-à-l'heure, 

 on parviendra à une troisième équation, qui, de nouveau, sera de la mênie 

 forme que la formule (6), et ainsi de suite. De cette manière n trans- 

 formations semblables conduiront aux valeurs suivantes de R, a et ^: 



R=:{pqrR^"\ az^(pqya^^"\ (i~(pq)Y''"\ 

 et par conséquent Ton aura 



Bz=p*q{pqyy'^'^^\ 

 Dans ces formules les nombres iî^"^ a**"^ et /S ^^^^ sont évidemment des entiers. 

 De plus, comme on ne peut pas supposer pzz. q— 1 , ce qui réduirait les 



quantités YÂ et VJB à des nombres rationnels, il faut en conclurCj d'après 

 la forme des valeurs de iî, ^ et B, que ces trois nombres croissent au- 

 delà de toute limite avec l'exposant n, qu'on peut prendre aussi grand que 

 l'on veut De là, nous sommes en droit d'affirmer que l'équation 



pA^pB—R 



ne peut jamais avoir lieu pour A, B et R, entiers, les quantités vCT et ^ 

 étant supposées irràtiohnelles. 



S 9. Passons actuellement à féquation 



pÂ-\-}^B=zR. 

 En faisant m — 4 dans la formule (5), nous aurons 



(9) iî* — 4OT + 2C^—(^-|-B)=:0, 



