Sur r irréductibilité de certaines formules etc. 483 

 d'où Ton déduirait 



ou bien 



Or, cette dernière égalité ne peut avoir lieu à moins que l'on n'ait ^ ~ □ ; 

 dans ce cas J et B se réduiraient à des bi- carrés, ce qui serait contre la 

 supposition. Donc /? et r ne peuvent se réduire en même temps à l'unité. 

 L'impossibilité de la formule 



peut être établie d'une manière encore plus simple. En effet, si l'on met 

 le carré de l'équation précédente sous la forme 



et qu'on élève de nouveau le résultat à la seconde puissance, on aura 



R*-^A-{-B — IR^VT— 2R^VB-\- 2VÂB zz: ^VÂB, 

 ou bien, après les réductions, * 

 R'^yl -f- rYb-]- VTB ^* + ;^ + jg ■ 



Pour que cette équation soit possible, il faut, en vertu du ^ 2 , que A et 

 B soient des carrés. En supposant donc A~ A"^ et B— B'*, l'équation 

 proposée se réduira à la formule 



rii-vïï-R, 



qu'on sait être impossible par le § 1 , puisqu'on ne peut pas supposer A' 

 et B' — □ , ce qui réduirait J et B à des bi -carrés complets. 



La formule (10) de ce paragraphe conduit à une transformation très 

 simple, de laquelle résulte un théorème sur les nombres assez curieux. Si, 

 dans la formule mentionnée, l'on remplace A par a* et B par b*, il faudra 

 aussi substituer à B la somme a-{-b, et à C, le produit ab. On aura donc 



ab = (u + br-Vt±M+^, 



