Sur r irréductibilité de certaines formules etc. 489 



iR' > — A — B. 

 De plus, le second ternie (ABP — i?^)^, comme étant un carré, sera positif. 

 De là on conclut que l'équation (19) donne pour C une valeur rationnelle 

 en A, B, R et [, la dernière de ces quatre quantités représentant un radical 

 du second degré. Or, toute expression de cette nature, pourra, comme on 

 le sait , être mise sous la forme R -\- R I, R et R" représentant deux 

 quantités rationnelles, et / conservant son ancienne signiHcation. Donc, on 

 pourra poser 



C = R'-^R"l 



Mais puisque ~ AB est une quantité rationnelle par hypothèse, il fau- 

 dra que le second membre de l'équation 

 C — AB—R''~{-2iR''R"'I^^Z5R'^R"^I'+lR'R"P 



(1 R'' R" Z5 R''R"'I^ -I- 2lR'^R "'I' 4- R'^P)! 

 le soit également. Pour satisfaire à cette condition, on devra nécessairement 

 supposer que le coefficient de / est nul , on bien que / est rationnel , car 

 les autres termes de l'équation, comme affectés de puissances paires de /, 

 sont rationnels. La première hypothèse est inadmissible, puisque tous les 

 termes du coefficient de / sont positifs; il faudra donc que / soit rationnel, 



ce qui réduira aussi la valeur de C, ou bien celle de YAB, à une quan- 

 tité rationnelle. » 



7 — — 



La rationnalité de \^AB entrainera nécessairement les formules 



B — p^q'r'^sH^u. ^\ 



et par suite 



C ~ pqrstuafi, 



p, q, r, s, t et u étant premiers entr'eux, et ne contenant chacun que des 

 fàcteui's simples. ' Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (l6), on aura 

 (20) R'—l pqrsiu O. ftR' — l^{pqrstuf a^(3^ R^ + 1 {pqfstuf a« /J' R 



— pqrstuicfr'^s^t^'u^ a' -f p^q^rVili'). 



